Πολύγωνον
- Ένα επίπεδο γεωμετρικό σχήμα.
Ετυμολογία[]
Το όνομα "Πολύγωνο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "γωνία".
Εισαγωγή[]
Πολύγωνο στην γεωμετρία είναι κάθε απλή κλειστή τεθλασμένη. Ένα πολύγωνο με ν πλευρές λέγεται ειδικότερα ν-γωνο ή ν-πλευρο. Προφανώς ισχύει ν ≥ 3.
Το Γεωμετρικό Σχήμα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και τα εσωτερικά του σημεία λέγεται πολυγωνικό χωρίο. Ένα πολύγωνο θα λέγεται κυρτό αν το πολυγωνικό χωρίο του είναι κυρτό σύνολο και μη κυρτό ή κοίλο στην αντίθετη περίπτωση.
- Εσωτερική γωνία ενός πολυγώνου ονομάζουμε κάθε κυρτή γωνία που ορίζεται από δύο διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου.
- Εξωτερική γωνία ονομάζουμε κάθε εφεξής και παραπληρωματική μίας εσωτερικής του γωνίας.
Ένα Ευθύγραμμο Τμήμα που ενώνει δύο μη διαδοχικές κορυφές πολυγώνου ονομάζεται διαγώνιος του πολυγώνου.
Ιδιότητες[]
- Το πλήθος των διαγωνίων ενός ν-γώνου ισούται με .
Απόδειξη: Για να μετρήσουμε τις διαγωνίους του ν-γώνου θεωρούμε μία-μία τις κορυφές του και μετράμε τα νέα ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν για κάθε κορυφή. Από το τελικό άθροισμα όλων των ευθυγράμμων τμημάτων θα αφαιρέσουμε τα ν σε πλήθος τμήματα που είναι οι πλευρές του πολυγώνου.
Στην πρώτη κορυφή δεν έχουμε κανένα ευθύγραμμο τμήμα. Στη δεύτερη κορυφή έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τη δεύτερη με την πρώτη κορυφή. Η τρίτη κορυφή ενώνεται με τις προηγούμενες δύο και προκύπτουν δύο νέα ευθύγραμμα τμήματα.
Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, στην προσθήκη της τελευταίας κορυφής, της ν-οστής, θα προκύψουν ν - 1 νέα ευθύγραμμα τμήματα καθώς αυτή θα ενωθεί με όλες τις ν - 1 κορυφές που προηγήθηκαν.
Η διαδικασία αυτή σκιαγραφείται στον παρακάτω πίνακα:
Κορυφές | 1 | 2 | 3 | ... | ν - 1 | ν |
---|---|---|---|---|---|---|
Νέα ευθύγραμμα τμήματα | 0 | 1 | 2 | ... | ν - 2 | ν - 1 |
Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το συνολικό πλήθος S των ευθυγράμμων τμημάτων. Γράφουμε με δύο τρόπους το άθροισμα της κάτω γραμμής του πίνακα:
και προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε
Αφαιρώντας τις ν πλευρές έχουμε τελικά
- Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι (ν-2)180°.
Απόδειξη: Θεωρούμε πολύγωνο ν γωνιών. Από μία κορυφή του φέρνουμε όλες τις διαγωνίους προς τις άλλες κορυφές. Με αυτόν τον τρόπο σχηματίζονται ν-2 τρίγωνα με συνολικό άθροισμα γωνιών προφανώς ίσο με το άθροισμα των γωνιών του ν-γώνου, ίσο με (ν-2)180°.
- Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου είναι ίσο με 360°.
Απόδειξη: Έστω ότι έχουμε ένα ν-γωνο με κορυφές 1, 2, …, ν-1, ν. Αν για κάθε κορυφή πάρουμε το άθροισμα της εσωτερικής και εξωτερικής της γωνίας:
- εσ1 + εξ1 = 180°
- εσν + εξν = 180°
και αθροίσουμε κατά μέλη, έχουμε:
Πολύγωνα[]
Όνομα | Ακμές |
---|---|
Μονόγωνο (henagon) (or monogon) | 1 |
Δίγωνο (digon) | 2 |
Τρίγωνο (triangle]] (or trigon) | 3 |
Τετράγωνο (quadrilateral) (or tetragon) | 4 |
Πεντάγωνο (pentagon) | 5 |
Εξάγωνο (hexagon) | 6 |
Επτάγωνο (heptagon) (avoid "septagon" = Latin [sept-] + Greek) | 7 |
Οκτάγωνο (octagon) | 8 |
Εννεάγωνο (enneagon) (or nonagon) | 9 |
Δεκάγωνο (decagon) | 10 |
Ενδεκάγωνο (hendecagon) (avoid "undecagon" = Latin [un-] + Greek) | 11 |
Δωδεκάγωνο (dodecagon]] (avoid "duodecagon" = Latin [duo-] + Greek) | 12 |
Δεκατριάγωνο (tridecagon) (or triskaidecagon) | 13 |
Δεκατετράγωνο (tetradecagon]] (or tetrakaidecagon) | 14 |
Δεκαπεντάγωνο (pentadecagon]] (or quindecagon or pentakaidecagon) | 15 |
Δεκαεξάγωνο (hexadecagon]] (or hexakaidecagon) | 16 |
Δεκαεπτάγωνο (heptadecagon]] (or heptakaidecagon) | 17 |
Δεκαοκτάγωνο (octadecagon]] (or octakaidecagon) | 18 |
Δεκαεννεάγωνο (enneadecagon]] (or enneakaidecagon or nonadecagon) | 19 |
Εικοσάγωνο (icosagon]] | 20 |
Εκατοντάγωνο No established English name "hectogon" is the Greek name (see hectometre), |
100 |
Χιλιάγωνο (chiliagon]] | 1000 |
Μυριάγωνο (myriagon]] | 10,000 |
googolgon Πρότυπο:Fact | googol |
Υποσημειώσεις[]
Εσωτερική Αρθρογραφία[]
- Σχήμα
- Επίπεδο Σχήμα
- γωνία
- Τρίγωνο
- Τετράπλευρο
- Κανονικό Πολύγωνο
Βιβλιογραφία[]
Ιστογραφία[]
Κίνδυνοι Χρήσης |
---|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)