Πραγματικός Αριθμός
![Lines-Numbers-Real-01-goog](https://static.wikia.nocookie.net/science/images/c/c9/Lines-Numbers-Real-01-goog.png/revision/latest/scale-to-width-down/300?cb=20201209173907&path-prefix=el)
(Real line)
![Numbers-Real-01-goog](https://static.wikia.nocookie.net/science/images/d/d1/Numbers-Real-01-goog.png/revision/latest/scale-to-width-down/300?cb=20170223135528&path-prefix=el)
![Real-Line-00-goog](https://static.wikia.nocookie.net/science/images/9/9a/Real-Line-00-goog.png/revision/latest/scale-to-width-down/300?cb=20180628171441&path-prefix=el)
(Real line)
![Real-line-05-goog](https://static.wikia.nocookie.net/science/images/1/16/Real-line-05-goog.png/revision/latest/scale-to-width-down/300?cb=20181006165051&path-prefix=el)
(Real line)
![Real-Projective-Line-01-goog](https://static.wikia.nocookie.net/science/images/a/a1/Real-Projective-Line-01-goog.png/revision/latest/scale-to-width-down/300?cb=20181006170455&path-prefix=el)
(Real line) Προβολική Ευθεία
(Projective line)
![Numbers-Real-etc-01-goog](https://static.wikia.nocookie.net/science/images/7/75/Numbers-Real-etc-01-goog.jpg/revision/latest/scale-to-width-down/300?cb=20201110180103&path-prefix=el)
![Numbers-03-goog](https://static.wikia.nocookie.net/science/images/9/99/Numbers-03-goog.jpg/revision/latest/scale-to-width-down/300?cb=20130727074252&path-prefix=el)
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Μαθηματική Πράξη
Τελεστής
![Numbers-Integers-Real-01-goog](https://static.wikia.nocookie.net/science/images/6/61/Numbers-Integers-Real-01-goog.png/revision/latest/scale-to-width-down/300?cb=20230110195736&path-prefix=el)
Ακέραιος Αριθμός
- Ένα είδος αριθμών.
Ετυμολογία[]
![]() ![]() |
---|
|
Α. Αριθμοσύνολα |
---
|
Β. Ειδικοί Αριθμοί |
|
Γ. Άλλοι Αριθμοί |
|
Δ. Ψηφία |
|
Η ονομασία "πραγματικός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "πράγμα".
Εισαγωγή[]
Οι πραγματικοί αριθμοί ορίζονται διαισθητικά ως το σύνολο όλων των αριθμών που είναι σε αμφιμονοσήμαντη (δηλ. ένα προς ένα) αντιστοιχία με τα σημεία μιας άπειρης ευθείας, που καλείται "ευθεία των πραγματικών αριθμών" ή πραγματικός άξονας.
Ο όρος "πραγματικός αριθμός" δημιουργήθηκε εκ των υστέρων σε αντιδιαστολή προς τους "φανταστικούς αριθμούς", των οποίων η ένωση με τους πραγματικούς δίδει τους μιγαδικούς.
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της Πραγματικής Ανάλυσης.
Οι πραγματικοί αριθμοί διακρίνονται σε
- ρητούς αριθμούς (που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή) και
- άρρητους αριθμούς (που δεν μπορούν να εκφρασθούν επακριβώς ως κλάσματα).
Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα συνεχές.
Κάθε Φυσικό Μέγεθος που μπορεί να μετρηθεί εκφράζεται συνήθως από έναν πραγματικό αριθμό.
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με .
Αξιωματική Θεμελίωση των Πραγματικών Αριθμών[]
Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο το οποίο ικανοποιεί τα παρακάτω τρία αξιώματα:
- Το σύνολο αποτελεί σώμα. Αναλυτικά:
- Για όλα τα x, y, και z στο , ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z and x(yz) = (xy)z.
- Για όλα τα x και y στο , x + y = y + x και xy = yx.
- Για όλα τα x, y, και z στο , ισχύει x(y + z) = (xy) + (xz).
- Για όλα τα x στο , υπάρχει ένα στοιχείο 0, τέτοιο ώστε x + 0 = x = 0 + x και ένα στοιχείο 1 0, τέτοιο ώστε x1 = x = 1x.
- Για όλα τα x στο , υπάρχει ένα στοιχείο −x στο R, τέτοιο ώστε x + (−x) = 0 = (-x) + x.
- Για όλα τα x ≠ 0 στο , υπάρχει ένα στοιχείο x−1 στο R, τέτοιο ώστε xx −1 = 1 = x −1 x.
- Το σώμα είναι διατεταγμένο.
- Το διατεταγμένο σώμα είναι πλήρες.
Αποδεικνύεται ότι όλα τα σύνολα που ικανοποιούν τα παραπάνω τρία αξιώματα είναι: ισομορφικά, δηλ. υπάρχει μόνο ένα "πλήρες διατεταγμένο σώμα", το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Το σύνολο Q των ρητών αν και είναι διατεταγμένο σώμα δεν ικανοποιεί την αρχή της πληρότητας ενώ τα σύνολα των φυσικών και ακεραίων δεν αποτελούν σώματα.
Η ευθεία των πραγματικών αριθμών[]
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί σε μια ευθεία, της οποίας κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό.
Στην ευθεία αυτή, τα σημεία είναι διατεταγμένα έτσι ώστε κινούμενοι από αριστερά προς τα δεξιά η τιμή των πραγματικών αριθμών να αυξάνεται.
Έτσι, επιλέγοντας ένα σημείο x, κάθε σημείο αριστερά από αυτό αντιστοιχεί σε πραγματικό αριθμό μικρότερο από αυτόν που αντιστοιχεί στο x, ενώ κάθε σημείο δεξιά από αυτό αντιστοιχεί σε μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό.
Αν x = 0, τότε αριστερά βρίσκονται όλα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, ενώ δεξιά βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στους θετικούς.
Το σύνολο είναι ολικά διατεταγμένο, δηλαδή αν επιλέξουμε δύο αριθμούς , τότε θα ισχύει μία από τις τρεις παρακάτω σχέσεις:
- .
Στον πραγματικό άξονα, αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε δύο σημεία του α και β, τότε
- ή το α είναι αριστερά του β
- ή το α θα συμπέσει με το β
- ή το α θα είναι δεξιά του β.
Η πρόταση αυτή φαίνεται προφανής.
Η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν διακόπτεται και πουθενά δεν έχει κενά. Αντίστοιχα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι τόσο πυκνό που πάντοτε μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, όσο μικρή απόσταση και αν έχουν μεταξύ τους, θα υπάρχει τουλάχιστον ακόμη ένας.
Υποσημειώσεις[]
Εσωτερική Αρθρογραφία[]
Βιβλιογραφία[]
Ιστογραφία[]
![]() ![]() |
---|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)