Πραγματικός Αριθμός

Πραγματικός Αριθμός

Real Number

Πραγματική Ευθεία
(Real line)

Πραγματικός Αριθμός

Πραγματική Ευθεία
(Real line)

Πραγματική Ευθεία
(Real line)

Πραγματική Ευθεία
(Real line) Προβολική Ευθεία
(Projective line)

Πραγματικός Αριθμός

Διακριτά Μαθηματικά
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Μαθηματική Πράξη
Τελεστής

Πραγματικός Αριθμός
Ακέραιος Αριθμός

- Ένα είδος αριθμών.

Ετυμολογία

Αριθμοί
Α. Αριθμοσύνολα
Φυσικός Αριθμός Number Ακέραιος Αριθμός Number Ρητός Αριθμός Number Άρρητος Αριθμός Number Υπερβατικός Αριθμός Number Πραγματικός Αριθμός Number Φανταστικός Αριθμός Number Μιγαδικός Αριθμός Number Άρτιος Αριθμός Number Περιττός Αριθμός Number Θετικός Αριθμός Number Αρνητικός Αριθμός Number --- Αλγεβρικός Αριθμός Number Πρώτος Αριθμός Number
Β. Ειδικοί Αριθμοί
Μηδενικός Αριθμός Number Μοναδιαίος Αριθμός Number Αριθμός i Number Αριθμός π Number Αριθμός e Number
Γ. Άλλοι Αριθμοί
Αντίστροφος Αριθμός Number Αντίθετος Αριθμός Number Ασύμμετρος Αριθμός Number Περιοδικός Αριθμός Number Απεριοδικός Αριθμός Number Δεκαδικός Αριθμός Number Κλασματικός Αριθμός Number Σιμμιγής Αριθμός Number Κβαντικός Αριθμός Number Μαγικός Αριθμός Number Χρυσός Αριθμός Number Αποκαλυπτικός Αριθμός Number
Δ. Ψηφία
Ένα Number Δύο Number Τρία Number Τέσσερα Number Πέντε Number Έξι Number Επτά Number Οκτώ Number Εννέα Number Δέκα Number Εκατό Number Χίλια Number Εκατομμύριο Number

Η ονομασία "πραγματικός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "πράγμα".

Εισαγωγή

Οι πραγματικοί αριθμοί ορίζονται διαισθητικά ως το σύνολο όλων των αριθμών που είναι σε αμφιμονοσήμαντη (δηλ. ένα προς ένα) αντιστοιχία με τα σημεία μιας άπειρης ευθείας, που καλείται "ευθεία των πραγματικών αριθμών" ή πραγματικός άξονας.

Ο όρος "πραγματικός αριθμός" δημιουργήθηκε εκ των υστέρων σε αντιδιαστολή προς τους "φανταστικούς αριθμούς", των οποίων η ένωση με τους πραγματικούς δίδει τους μιγαδικούς.

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της Πραγματικής Ανάλυσης.

Οι πραγματικοί αριθμοί διακρίνονται σε

• ρητούς αριθμούς (που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή) και
• άρρητους αριθμούς (που δεν μπορούν να εκφρασθούν επακριβώς ως κλάσματα).

Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα συνεχές.

Κάθε Φυσικό Μέγεθος που μπορεί να μετρηθεί εκφράζεται συνήθως από έναν πραγματικό αριθμό.

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με $R$.

Αξιωματική Θεμελίωση των Πραγματικών Αριθμών

Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο $R$ το οποίο ικανοποιεί τα παρακάτω τρία αξιώματα:

• Το σύνολο $R$ αποτελεί σώμα. Αναλυτικά:
  • Για όλα τα x, y, και z στο $R$, ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z and x(yz) = (xy)z.
  • Για όλα τα x και y στο $R$, x + y = y + x και xy = yx.
  • Για όλα τα x, y, και z στο $R$, ισχύει x(y + z) = (xy) + (xz).
  • Για όλα τα x στο $R$, υπάρχει ένα στοιχείο 0, τέτοιο ώστε x + 0 = x = 0 + x και ένα στοιχείο 1 $\ne$ 0, τέτοιο ώστε x1 = x = 1x.
  • Για όλα τα x στο $R$, υπάρχει ένα στοιχείο −x στο R, τέτοιο ώστε x + (−x) = 0 = (-x) + x.
  • Για όλα τα x ≠ 0 στο $R$, υπάρχει ένα στοιχείο x⁻¹ στο R, τέτοιο ώστε xx ⁻¹ = 1 = x ⁻¹ x.
• Το σώμα $R$ είναι διατεταγμένο.
• Το διατεταγμένο σώμα $R$ είναι πλήρες.

Αποδεικνύεται ότι όλα τα σύνολα που ικανοποιούν τα παραπάνω τρία αξιώματα είναι: ισομορφικά, δηλ. υπάρχει μόνο ένα "πλήρες διατεταγμένο σώμα", το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Το σύνολο Q των ρητών αν και είναι διατεταγμένο σώμα δεν ικανοποιεί την αρχή της πληρότητας ενώ τα σύνολα των φυσικών και ακεραίων δεν αποτελούν σώματα.

Η ευθεία των πραγματικών αριθμών

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί σε μια ευθεία, της οποίας κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό.

Στην ευθεία αυτή, τα σημεία είναι διατεταγμένα έτσι ώστε κινούμενοι από αριστερά προς τα δεξιά η τιμή των πραγματικών αριθμών να αυξάνεται.

Έτσι, επιλέγοντας ένα σημείο x, κάθε σημείο αριστερά από αυτό αντιστοιχεί σε πραγματικό αριθμό μικρότερο από αυτόν που αντιστοιχεί στο x, ενώ κάθε σημείο δεξιά από αυτό αντιστοιχεί σε μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό.

Αν x = 0, τότε αριστερά βρίσκονται όλα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, ενώ δεξιά βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στους θετικούς.

Το σύνολο $R$ είναι ολικά διατεταγμένο, δηλαδή αν επιλέξουμε δύο αριθμούς $a, \beta \in R$, τότε θα ισχύει μία από τις τρεις παρακάτω σχέσεις:

$a < \beta \, \quad a = \beta \quad a> \beta$.

Στον πραγματικό άξονα, αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε δύο σημεία του α και β, τότε

• ή το α είναι αριστερά του β
• ή το α θα συμπέσει με το β
• ή το α θα είναι δεξιά του β.

Η πρόταση αυτή φαίνεται προφανής.

Η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν διακόπτεται και πουθενά δεν έχει κενά. Αντίστοιχα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι τόσο πυκνό που πάντοτε μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, όσο μικρή απόσταση και αν έχουν μεταξύ τους, θα υπάρχει τουλάχιστον ακόμη ένας.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Μονοδιάστατος Χώρος
• Αριθμός
• Αριθμοσύνολο

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---