Προσδοκώμενη Τιμή

Expectation value, αναμενόμενη τιμή

- Ένα μέγεθος

## Ετυμολογία

Η ονομασία "Προσδοκώμενη" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "προσδοκία".

## Εισαγωγή

In quantum mechanics, the expectation value is the probabilistic expected value of the result (measurement) of an experiment.

It is not the most probable value of a measurement; indeed the expectation value may have zero probability of occurring.

It is a fundamental concept in all areas of quantum physics.

## Φορμαλισμός

In quantum theory, an experimental setup is described by the observable to be measured, and the quantum state of the system. The expectation value of in the state is denoted as .

Mathematically, is a self-adjoint operator on a Hilbert space. In the most commonly used case in quantum mechanics, is a pure state, described by a normalized vector in the Hilbert space. The expectation value of in the state is defined as

(1) .

If dynamics is considered, either the vector or the operator is taken to be time-dependent, depending on whether the Schrödinger picture or Heisenberg picture is used. The evolution of the expectation value does not depend on this choice, however.

If has a complete set of eigenvectors , with eigenvalues , then (1) can be expressed as

(2) .

This expression is similar to the arithmetic mean value, and illustrates the physical meaning of the mathematical formalism: The eigenvalues are the possible outcomes of the experiment, and their corresponding coefficient is the probability that this outcome will occur; it is often called the transition probability.

In quantum theory, also operators with non-discrete spectrum are in use, such as the position operator in quantum mechanics. This operator does not have eigenvalues, but has a completely continuous spectrum. In this case, the vector can be written as a complex-valued function on the spectrum of (usually the real line). For the expectation value of the position operator, one then has the formula

(4) .

A similar formula holds for the momentum operator , in systems where it has continuous spectrum.

All the above formulas are valid for pure states only. Prominently in thermodynamics, also mixed states are of importance; these are described by a positive trace-class operator , the statistical operator or density matrix. The expectation value then can be obtained as

(5) .

## Υποσημειώσεις

1. This article always takes to be of norm 1. For non-normalized vectors, has to be replaced with in all formulas.
2. It is assumed here that the eigenvalues are non-degenerate.

## Ιστογραφία Κίνδυνοι Χρήσης Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Επίσης,
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν