Συνάρτησις Delta
Dirac_delta_function, Κρουστική Συνάρτηση
- Μία Μαθηματική Συνάρτηση.
Ετυμολογία[]
Πρότυπο:Functions
Εισαγωγή[]
Η κρουστική συνάρτηση είναι μαθηματική περιγραφή κάποιας ποσότητας η οποία μεταβάλλεται με τον ίδιο τρόπο που συμβαίνει σε μέγεθος που περιγράφει ένα φαινόμενο κρούσης. Η μεταβλητή αυτή ποσότητα, αν ήταν φυσική, θα είχε ελάχιστη διακύμανση σε όλη τη διάρκεια του χρόνου πριν την κρούση, τη στιγμή της κρούσης θα αυξανόταν ακαριαία στη μέγιστη τιμή και αμέσως μετά θα λάμβανε σχεδόν αμέσως την ελάχιστη τιμή διακύμανσης και πάλι.
Η μαθηματική περιγραφή για την τιμή της κρουστικής παραμέτρου ενός τέτοιου φυσικού μοντέλου, που είναι πιο αυστηρή, περιγράφεται από ένα συναρτησιοειδές το οποίο οριακά έχει παντού την τιμή μηδέν εκτός από το σημείο αναφοράς στο οποίο η τιμή του γίνεται άπειρη (προς τα θετικά).
Επιπλέον, το ολοκλήρωμα της κρουστικής συνάρτησης σε όλο το Πεδίο Ορισμού είναι 1.
Η κρουστική συνάρτηση συμβολίζεται με δ. Η κρουστική συνάρτηση έχει τις ακόλουθες μαθηματικές ιδιότητες (οι οποίες ουσιαστικά την ορίζουν):
Ορισμός[]
The Dirac delta can be loosely thought of as a function on the real line which is zero everywhere except at the origin, where it is infinite,
and which is also constrained to satisfy the identity
This is merely a heuristic characterization.
The Dirac delta is not a function in the traditional sense as no function defined on the real numbers has these properties.
The Dirac delta function can be rigorously defined
- either as a distribution or
- as a measure.
Φυσική[]
Η κρουστική συνάρτηση είναι ένα μαθηματικό μοντέλο για τη μελέτη φαινομένων στα οποία κάποια μεγέθη γίνονται πολύ μεγάλα σε ελάχιστο χρόνο.
Ένα φυσικό παράδειγμα είναι η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος σε έναν ανοικτό διακόπτη, όταν εμφανίζεται σπινθήρας.
Άλλο φυσικό παράδειγμα είναι η Δύναμη σε σκληρό επίπεδο δάπεδο από μια μπάλα του μπιλιάρδου που αναπηδά σε αυτό.
Σύστημα υπό μελέτη[]
Η κρουστική συνάρτηση είναι η είσοδος ενός συστήματος όταν θέλουμε να μελετήσουμε την κρουστική του απόκριση.
Η έξοδος ενός συστήματος που δέχεται ως είσοδο την κρουστική συνάρτηση είναι η Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήματος.
Properties[]
Scaling and symmetry[]
The delta function satisfies the following scaling property for a non-zero scalar α:[1]
and so
Πρότυπο:NumBlk
In particular, the delta function is an even distribution, in the sense that
which is homogeneous of degree −1.
Algebraic properties[]
The distributional product of δ with x is equal to zero:
Conversely, if xf(x) = xg(x), where f and g are distributions, then
for some constant c.[2]
Translation[]
The integral of the time-delayed Dirac delta is given by:
This is sometimes referred to as the sifting property[3] or the sampling property. The delta function is said to "sift out" the value at t = T.
It follows that the effect of convolving a function f(t) with the time-delayed Dirac delta is to time-delay f(t) by the same amount:
(using (Πρότυπο:EquationNote): )
This holds under the precise condition that f be a tempered distribution (see the discussion of the Fourier transform below). As a special case, for instance, we have the identity (understood in the distribution sense)
Composition with a function[]
More generally, the delta distribution may be composed with a smooth function g(x) in such a way that the familiar change of variables formula holds, that
provided that g is a continuously differentiable function with g′ nowhere zero.[4] That is, there is a unique way to assign meaning to the distribution so that this identity holds for all compactly supported test functions f. Therefore, the domain must be broken up to exclude the g′ = 0 point. This distribution satisfies δ(g(x)) = 0 if g′ is nowhere zero, and otherwise if g′ has a real root at x0, then
It is natural therefore to define the composition δ(g(x)) for continuously differentiable functions g by
where the sum extends over all roots of g(x), which are assumed to be simple.[4] Thus, for example
In the integral form the generalized scaling property may be written as
Properties in n dimensions[]
The delta distribution in an n-dimensional space satisfies the following scaling property instead:
so that δ is a homogeneous distribution of degree −n. Under any reflection or rotation ρ, the delta function is invariant:
As in the one-variable case, it is possible to define the composition of δ with a bi-Lipschitz function[5] g: Rn → Rn uniquely so that the identity
for all compactly supported functions f.
Using the coarea formula from geometric measure theory, one can also define the composition of the delta function with a submersion from one Euclidean space to another one of different dimension; the result is a type of current. In the special case of a continuously differentiable function g: Rn → R such that the gradient of g is nowhere zero, the following identity holds[6]
where the integral on the right is over g−1(0), the (n − 1)-dimensional surface defined by g(x) = 0 with respect to the Minkowski content measure. This is known as a simple layer integral.
More generally, if S is a smooth hypersurface of Rn, then we can associate to S the distribution that integrates any compactly supported smooth function g over S:
where σ is the hypersurface measure associated to S. This generalization is associated with the potential theory of simple layer potentials on S. If D is a domain in Rn with smooth boundary S, then δS is equal to the normal derivative of the indicator function of D in the distribution sense:
where n is the outward normal.[7][8] For a proof, see e.g. the article on the surface delta function.
Υποσημειώσεις[]
Εσωτερική Αρθρογραφία[]
- βηματική Συνάρτηση
- Γραφική Παράσταση
- Συνέχεια Συνάρτησης
- Πραγματική Συνάρτηση
- Μιγαδική Συνάρτηση
- Συναρτησιακό
- Τελεστής
- Μερική Συνάρτηση
- Σχέση
- Συνάρτηση Μεταφοράς
- σήμα
- Συναρτησιακή Μονοτονία
- Μελέτη Συνάρτησης
- Συνάρτηση Δέλτα
Βιβλιογραφία[]
Ιστογραφία[]
Κίνδυνοι Χρήσης |
---|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)