Συνάρτησις Delta

Dirac_delta_function, Κρουστική Συνάρτηση


Συνάρτηση Dirac


Συνάρτηση Dirac


Συνάρτηση Dirac


Μαθηματική Ανάλυση Μαθηματική Συνάρτηση
Πεδίο Ορισμού Πεδίο Τιμών
Ενάρτηση Εφάρτηση Αμφάρτηση
Συναρτησιακή Μονοτονία Συναρτησιακή Συνέχεια Συναρτησιακή Σύγκλιση

- Μία Μαθηματική Συνάρτηση.




Η κρουστική συνάρτηση είναι μαθηματική περιγραφή κάποιας ποσότητας η οποία μεταβάλλεται με τον ίδιο τρόπο που συμβαίνει σε μέγεθος που περιγράφει ένα φαινόμενο κρούσης. Η μεταβλητή αυτή ποσότητα, αν ήταν φυσική, θα είχε ελάχιστη διακύμανση σε όλη τη διάρκεια του χρόνου πριν την κρούση, τη στιγμή της κρούσης θα αυξανόταν ακαριαία στη μέγιστη τιμή και αμέσως μετά θα λάμβανε σχεδόν αμέσως την ελάχιστη τιμή διακύμανσης και πάλι.

Η μαθηματική περιγραφή για την τιμή της κρουστικής παραμέτρου ενός τέτοιου φυσικού μοντέλου, που είναι πιο αυστηρή, περιγράφεται από ένα συναρτησιοειδές το οποίο οριακά έχει παντού την τιμή μηδέν εκτός από το σημείο αναφοράς στο οποίο η τιμή του γίνεται άπειρη (προς τα θετικά).

Επιπλέον, το ολοκλήρωμα της κρουστικής συνάρτησης σε όλο το Πεδίο Ορισμού είναι 1.

Η κρουστική συνάρτηση συμβολίζεται με δ. Η κρουστική συνάρτηση έχει τις ακόλουθες μαθηματικές ιδιότητες (οι οποίες ουσιαστικά την ορίζουν):

  • $ \delta (x)=0\;,\; x\neq 0 $
  • $ \int_{-\infty}^{+\infty}{{\delta}(x)dx}=1 $


The Dirac delta can be loosely thought of as a function on the real line which is zero everywhere except at the origin, where it is infinite,

$ \delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases} $

and which is also constrained to satisfy the identity

$ \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1. $

This is merely a heuristic characterization.

The Dirac delta is not a function in the traditional sense as no function defined on the real numbers has these properties.

The Dirac delta function can be rigorously defined

Φυσική Edit

Η κρουστική συνάρτηση είναι ένα μαθηματικό μοντέλο για τη μελέτη φαινομένων στα οποία κάποια μεγέθη γίνονται πολύ μεγάλα σε ελάχιστο χρόνο.

Ένα φυσικό παράδειγμα είναι η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος σε έναν ανοικτό διακόπτη, όταν εμφανίζεται σπινθήρας.

Άλλο φυσικό παράδειγμα είναι η Δύναμη σε σκληρό επίπεδο δάπεδο από μια μπάλα του μπιλιάρδου που αναπηδά σε αυτό.

Σύστημα υπό μελέτη Edit

Η κρουστική συνάρτηση είναι η είσοδος ενός συστήματος όταν θέλουμε να μελετήσουμε την κρουστική του απόκριση.

Η έξοδος ενός συστήματος που δέχεται ως είσοδο την κρουστική συνάρτηση είναι η Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήματος.


Scaling and symmetryEdit

The delta function satisfies the following scaling property for a non-zero scalar α:[1]

$ \int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx =\int_{-\infty}^\infty \delta(u)\,\frac{du}{|\alpha|} =\frac{1}{|\alpha|} $

and so


In particular, the delta function is an even distribution, in the sense that

$ \delta(-x) = \delta(x) $

which is homogeneous of degree −1.

Algebraic propertiesEdit

The distributional product of δ with x is equal to zero:

$ x\delta(x) = 0. $

Conversely, if xf(x) = xg(x), where f and g are distributions, then

$ f(x) = g(x) +c \delta(x) $

for some constant c.[2]


The integral of the time-delayed Dirac delta is given by:

$ \int_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t-T)\,dt = f(T). $

This is sometimes referred to as the sifting property[3] or the sampling property. The delta function is said to "sift out" the value at t = T.

It follows that the effect of convolving a function f(t) with the time-delayed Dirac delta is to time-delay f(t) by the same amount:

$ (f(t) * \delta(t-T))\, $ $ \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau) \delta(t-T-\tau) \, d\tau $
$ = \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) \delta(\tau-(t-T)) \, d\tau $       (using  (Πρότυπο:EquationNote): $ \delta(-x)=\delta(x) $)
$ = f(t-T).\, $

This holds under the precise condition that f be a tempered distribution (see the discussion of the Fourier transform below). As a special case, for instance, we have the identity (understood in the distribution sense)

$ \int_{-\infty}^\infty \delta (\xi-x) \delta(x-\eta) \, dx = \delta(\xi-\eta). $

Composition with a functionEdit

More generally, the delta distribution may be composed with a smooth function g(x) in such a way that the familiar change of variables formula holds, that

$ \int_{\mathbf{R}} \delta\bigl(g(x)\bigr) f\bigl(g(x)\bigr) |g'(x)|\,dx = \int_{g(\mathbf{R})} \delta(u)f(u)\, du $

provided that g is a continuously differentiable function with g′ nowhere zero.[4] That is, there is a unique way to assign meaning to the distribution $ \delta\circ g $ so that this identity holds for all compactly supported test functions f. Therefore, the domain must be broken up to exclude the g′ = 0 point. This distribution satisfies δ(g(x)) = 0 if g′ is nowhere zero, and otherwise if g′ has a real root at x0, then

$ \delta(g(x)) = \frac{\delta(x-x_0)}{|g'(x_0)|}. $

It is natural therefore to define the composition δ(g(x)) for continuously differentiable functions g by

$ \delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|} $

where the sum extends over all roots of g(x), which are assumed to be simple.[4] Thus, for example

$ \delta\left(x^2-\alpha^2\right) = \frac{1}{2|\alpha|}\Big[\delta\left(x+\alpha\right)+\delta\left(x-\alpha\right)\Big]. $

In the integral form the generalized scaling property may be written as

$ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}. $

Properties in n dimensionsEdit

The delta distribution in an n-dimensional space satisfies the following scaling property instead:

$ \delta(\alpha\mathbf{x}) = |\alpha|^{-n}\delta(\mathbf{x}) $

so that δ is a homogeneous distribution of degree −n. Under any reflection or rotation ρ, the delta function is invariant:

$ \delta(\rho \mathbf{x}) = \delta(\mathbf{x}). $

As in the one-variable case, it is possible to define the composition of δ with a bi-Lipschitz function[5] g: RnRn uniquely so that the identity

$ \int_{\mathbf{R}^n} \delta(g(\mathbf{x}))\, f(g(\mathbf{x}))\, |\det g'(\mathbf{x})|\, d\mathbf{x} = \int_{g(\mathbf{R}^n)} \delta(\mathbf{u}) f(\mathbf{u})\,d\mathbf{u} $

for all compactly supported functions f.

Using the coarea formula from geometric measure theory, one can also define the composition of the delta function with a submersion from one Euclidean space to another one of different dimension; the result is a type of current. In the special case of a continuously differentiable function g: RnR such that the gradient of g is nowhere zero, the following identity holds[6]

$ \int_{\mathbf{R}^n} f(\mathbf{x}) \, \delta(g(\mathbf{x})) \, d\mathbf{x} = \int_{g^{-1}(0)}\frac{f(\mathbf{x})}{|\mathbf{\nabla}g|}\,d\sigma(\mathbf{x}) $

where the integral on the right is over g−1(0), the (n − 1)-dimensional surface defined by g(x) = 0 with respect to the Minkowski content measure. This is known as a simple layer integral.

More generally, if S is a smooth hypersurface of Rn, then we can associate to S the distribution that integrates any compactly supported smooth function g over S:

$ \delta_S[g] = \int_S g(\mathbf{s})\,d\sigma(\mathbf{s}) $

where σ is the hypersurface measure associated to S. This generalization is associated with the potential theory of simple layer potentials on S. If D is a domain in Rn with smooth boundary S, then δS is equal to the normal derivative of the indicator function of D in the distribution sense:

$ -\int_{\mathbf{R}^n}g(\mathbf{x})\,\frac{\partial 1_D(\mathbf{x})}{\partial n}\;d\mathbf{x}=\int_S\,g(\mathbf{s})\;d\sigma(\mathbf{s}), $

where n is the outward normal.[7][8] For a proof, see e.g. the article on the surface delta function.


  1. Πρότυπο:Harvnb
  2. Πρότυπο:Harvnb
  3. Πρότυπο:MathWorld
  4. 4,0 4,1 Πρότυπο:Harvnb
  5. Further refinement is possible, namely to submersions, although these require a more involved change of variables formula.
  6. Πρότυπο:Harvnb
  7. Πρότυπο:Harvnb
  8. Πρότυπο:Harvnb

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit



Ikl Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν


>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.