Μονοτονία Συναρτήσεως

Monotonicity


Μαθηματική Ανάλυση Συνάρτηση
Πεδίο Ορισμού Πεδίο Τιμών
Ενάρτηση Εφάρτηση Αμφάρτηση
Συναρτησιακή Μονοτονία Συναρτησιακή Κυρτότητα Συναρτησιακή Συνέχεια Συναρτησιακή Σύγκλιση

- Μία κατηγορία συναρτήσεων

Ετυμολογία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ονομασία "Συναρτησιακή" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "συνάρτηση".

Περιγραφή[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μονοτονία μιας συνάρτησης αναφέρεται ποιοτικά στην κατεύθυνση της μεταβολής των τιμών της στο πεδίο ορισμού της ή σε τμήμα αυτού. Με άλλα λόγια, έστω ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης αυξάνεται, η μονοτονία είναι η πληροφορία που αναφέρει αν η εξαρτημένη μεταβλητή αυξάνεται και αυτή ή αντίθετα μειώνεται ή μένει αμετάβλητη.

Η μονοτονία μπορεί να είναι:

  • Γνήσια αύξουσα
  • Γνήσια φθίνουσα
  • Αύξουσα
  • Φθίνουσα
  • Σταθερή

Γνήσια αύξουσα[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης αυξάνεται και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης μειώνεται. Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία f(α)>f(β) <=> α>β, όπου f είναι η συνάρτηση.

Γνήσια φθίνουσα[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης μειώνεται και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης αυξάνεται. Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία f(α)>f(β) <=> α<β, όπου f είναι η συνάρτηση.

Αν η συνάρτηση είναι σε ένα τμήμα του πεδίου ορισμού της, ή στο πεδίο ορισμού της γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα, τότε ονομάζεται γνησίως μονότονη. Αυτό ο όρος διακρίνει τις περιπτώσεις όπου μία συνάρτηση μπορεί να είναι σταθερή σε κάποια τμήματα του πεδίου ορισμού της.

Αύξουσα[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης αυξάνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης μειώνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή. Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή α>β => f(α)>=f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.

Φθίνουσα[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης μειώνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης αυξάνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή. Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή α > β => f(α) = f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.

Σταθερή[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ανεξάρτητα από τις αλλαγές της εξαρτημένης μεταβλητής η τιμή της συνάρτησης δε μεταβάλλεται. Ισχύει f(α) = f(β), όπου f είναι η συνάρτηση, ανεξάρτητα αν α > β, α < β ή α = β.

Μελέτη της μονοτονίας[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λόγος μεταβολής[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η κατεύθυνση της μεταβολής δύο διαδοχικών τιμών α1 και α2 μιας μεταβλητής α είναι το πρόσημο της διαφοράς Δα = α2 - α1. Έτσι, ισχύει:

  • Γνήσια αύξουσα: Δα > 0 => Δf(α) > 0 ή Δα <0 => Δf(α) < 0
  • Γνήσια φθίνουσα: Δα > 0 => Δf(α) < 0 ή Δα < 0 => Δf(α) >0
  • Αύξουσα: Δα>0 => Δf(α)>=0 ή Δα<0 => Δf(α)<=0
  • Φθίνουσα: Δα>0 => Δf(α)<=0 ή Δα<0 => Δf(α)>=0
  • Σταθερή: Δf(α)=0

Η μελέτη της μονοτονίας γίνεται πρωτογενώς μέσω του λόγου μεταβολής της συνάρτησης λ = Δf(α)/Δα, όπου f η συνάρτηση. Το πρόσημο του λόγου μεταβολής δείχνει την ποιοτική σχέση της ανισότητας των f(α),f(β) και της ανισότητας των α,β. *Αν η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα, τότε η μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής είναι ίδια με αυτήν της ανεξάρτητης και ισχύει λ>0.

  • Παρομοίως, αν η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα τότε λ<0.
  • Αν είναι αύξουσα είναι λ>=0,
  • αν είναι φθίνουσα λ<=0 και
  • αν είναι σταθερή λ=0.

Παράγωγος αριθμός[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μονοτονία μπορεί να μελετηθεί τόσο σε παραγωγίσιμες, όσο και σε μη παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Η μελέτη της μονοτονίας στις παραγωγίσιμες συναρτήσεις γίνεται με τον παράγωγο αριθμό πού μπορεί να οριστεί ως το όριο του λ, όταν το Δα τείνει στο μηδέν.

Αποδεικνύεται ότι η μονοτονία σε περιοχή του σημείου στο οποίο βρίσκουμε την παράγωγο μπορεί να προσδιοριστεί με βάση το πρόσημο της παραγώγου, όπως και στο λόγο μεταβολής. Για αυτό και η παράγωγος ονομάζεται και ρυθμός μεταβολής.

Αν η παράγωγος είναι μηδέν, τότε δεν μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε για τον προσδιορισμό.

Συνήθως, προσπαθούμε να βρούμε διαδοχικά υποσύνολα του Πεδίου Ορισμού, όπου το καθένα έχει ένα συγκεκριμένο είδος μονοτονίας, ενώ ο συνδυασμός τους είναι το ίδιο το Πεδίο Ορισμού.

  • Σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος συνάρτηση είναι θετική, η αρχική συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα, ενώ
  • σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι αρνητική η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα.

Σημεία στα οποία η μονοτονία είναι διαφορετική στις δυο πλευρές του σημείου είναι ακρότατα. Ο παράγωγος αριθμός σε αυτά τα σημεία είναι μηδέν (αυτή η πρόταση είναι γνωστή και ως Μικρό Θεώρημα Fermat).

Εφαπτομένη[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία θ εφαπτομένης ίση με το λόγο μεταβολής.

Αποδεικνύεται ότι αυτή η ευθεία διέρχεται από τα σημεία που χρησιμοποιήσαμε για τον προσδιορισμό του λόγου μεταβολής τους και το είδος μονοτονίας της εξαρτάται από τη σχέση των ανισοτικών σχέσεων των δύο σημείων.

Η εφαπτομένη της θ ονομάζεται και κλίση της ευθείας.

Η εφαπτομένη σε σημείο γραφικής παράστασης έχει κλίση ίση με τον παράγωγο αριθμό στο σημείο επαφής, που ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας θ.

Αν τα δύο σημεία ορίζουν κλειστό διάστημα συνέχειας της συνάρτησης και ανοικτό διάστημα στο οποίο είναι παραγωγίσιμη, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο εντός του ανοιχτού διαστήματος στο οποίο ο παράγωγος αριθμός να ισούται με την κλίση του αρχικού λόγου μεταβολής. Αυτή η πρόταση είναι γνωστή και ως Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού.

Γεωμετρικά, η παραπάνω πρόταση σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία εφαπτόμενη ευθεία στη γραφική παράσταση η οποία να είναι παράλληλη (ή να ταυτίζεται) με την αρχική ευθεία.

Σε μαθηματική γλώσσα:

Υποσημειώσεις[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εσωτερική Αρθρογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ιστογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.