Σύγκλισις Συναρτήσεως
convergence, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯





Συναρτησιακή Απόκλιση




Μαθηματικό Όριο

Συναρτησιακή Σύγκλιση

Μαθηματικό Όριο

Πεδίο Ορισμού Πεδίο Τιμών
Ενάρτηση Εφάρτηση Αμφάρτηση
Συναρτησιακή Μονοτονία Συναρτησιακή Συνέχεια Συναρτησιακή Σύγκλιση

- Μία Συναρτησιακή Ιδιότητα.
Ετυμολογία[]
Η ονομασία "Συναρτησιακή" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "συνάρτηση". Η ονομασία "Σύγκλιση" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "κλίση".
Σύγκλιση ακολουθίας[]
Ορισμός σύγκλισης ακολουθίας[]
Έστω μία πραγματική ακολουθία και l ένας Πραγματικός Αριθμός.
Ο αριθμός l ονομάζεται όριο της ακολουθίας ή ισοδύναμα η ακολουθία συγκλίνει στον αριθμό l αν:
για κάθε ε > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) n0 τέτοιο, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:
και συμβολίζεται με:
- .
Η έννοια του ορίου ακολουθίας με απλά λόγια:
Αν μια ακολουθία συγκλίνει σε ένα αριθμό l τότε οποιαδήποτε περιοχή του l και αν επιλέξουμε, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας, όλοι οι επόμενοι θα βρίσκονται μέσα στην περιοχή αυτή. Σύμφωνα με τον ορισμό, αυτό μπορεί να γίνει για οσοδήποτε μικρή περιοχή του l.

Σύγκλιση της ακολουθίας an. Μετά τον δεύτερο όρο της, όλοι οι επόμενοι βρίσκονται μέσα στην περιοχή του a (δηλ. του l), που είναι και το όριο της. Επομένως, για το συγκεκριμένο ε, n0 = 2.
Η διατύπωση του ορισμού μπορεί να γίνει πιο κομψή, χρησιμοποιώντας τη λέξη τελικά, η οποία δεν είναι καθόλου ασαφής, ως εξής: μια ακολουθία έχει όριο έναν πραγματικό αριθμό L, αν για κάθε ε>0 τελικά ισχύει:
Εδώ, η λέξη τελικά σημαίνει: για όλα τα n>n0, που δείχνει ότι η κύρια πρόταση που ορίζει την έννοια της σύγκλισης μπορεί να μην ισχύει για τους πρώτους όρους της ακολουθίας (δηλαδή για έναν πεπερασμένο πλήθος από αυτούς), αλλά, αν υπάρχει το όριο, τότε είναι βέβαιο, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας και για όλους τους επόμενους (δηλαδή τους τελικούς) θα ισχύει η πρόταση αυτή.
Μοναδικότητα του όριου[]
Αποδεικνύεται ότι αν μια ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει όριο, τότε το όριό της αυτό είναι μοναδικό.
Η απόδειξη γίνεται ως εξής: Έστω ότι μια ακολουθία έχει δύο όρια, τα α και β τα οποία δεν είναι ίσα μεταξύ τους. Τότε, με βάση τον ορισμό του ορίου ακολουθίας έχουμε τα εξής:
και
- .
Έστω τώρα, ο φυσικός αριθμός n0 ο οποίος είναι ο μεγαλύτερος των n1 και n2, δηλαδή, n0=max{n1, n2}. Τότε:
- και ισχύει:
Από την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε:
Η σχέση ισχύει για κάθε ε > 0 και επομένως a = b που είναι άτοπο. Επομένως αν μια ακολουθία έχει όριο τότε το όριο αυτό είναι μοναδικό.
Σημειακή Σύγκλιση[]
Suppose is a sequence of functions sharing the same domain and codomain.
The codomain is most commonly the reals, but in general can be any metric space.
The sequence converges pointwise to the function , often written as:
if and only if
for every x in the domain.
The function is said to be the pointwise limit function of .
For example,
if
is a sequence of functions defined by ,
then
pointwise on the interval [0,1),
but not uniformly.
The pointwise limit of a sequence of continuous functions may be a discontinuous function, but only if the convergence is not uniform.
Υποσημειώσεις[]
Εσωτερική Αρθρογραφία[]
- Μαθηματικό Όριο
- Μαθηματική Απόκλιση
- Μαθηματική Σύγκλιση
- Μαθηματική Συνέχεια
- Μαθηματική Συνεκτικότητα (connectedness)
- Μαθηματική Συμπάγεια (Compactness),
- Μαθηματική Παρασυμπάγεια (paracompactness)
- Μαθηματική Προσυμπάγεια (precompactness),
- Μαθηματική Ψευδοσυμπάγεια (pseudocompactness),
- Μαθηματική Πληρότητα (completeness),
- Μαθηματική Μετρικοποιησιμότητα (metrizability)
Βιβλιογραφία[]
Ιστογραφία[]
- Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
- Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
- users.auth.gr/daskalo
- users.auth.gr/daskalo
- videoclip
- Making sense of 1+2+3+... = -1/12
- mathstrek.blog
![]() ![]() |
---|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)