Σύγκλισις Συναρτήσεως

convergence, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯


Συναρτησιακή Σύγκλιση Μαθηματικό Όριο

Μαθηματικό Όριο Συναρτησιακή Σύγκλιση

Σύγκλιση Ακολουθίας Μαθηματικό Όριο

Μαθηματική Ανάλυση Συνάρτηση
Πεδίο Ορισμού Πεδίο Τιμών
Ενάρτηση Εφάρτηση Αμφάρτηση
Συναρτησιακή Μονοτονία Συναρτησιακή Συνέχεια Συναρτησιακή Σύγκλιση

Συναρτησιακή Σύγκλιση

- Μία Συναρτησιακή Ιδιότητα.

Ετυμολογία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ονομασία "Συναρτησιακή" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "συνάρτηση". Η ονομασία "Σύγκλιση" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "κλίση".

Σύγκλιση ακολουθίας[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορισμός σύγκλισης ακολουθίας[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω μία πραγματική ακολουθία και l ένας πραγματικός αριθμός.

Ο αριθμός l ονομάζεται όριο της ακολουθίας ή ισοδύναμα η ακολουθία συγκλίνει στον αριθμό l αν:

για κάθε ε > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) n0 τέτοιο, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

και συμβολίζεται με:

.

Η έννοια του ορίου ακολουθίας με απλά λόγια:

Αν μια ακολουθία συγκλίνει σε ένα αριθμό l τότε οποιαδήποτε περιοχή του l και αν επιλέξουμε, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας, όλοι οι επόμενοι θα βρίσκονται μέσα στην περιοχή αυτή. Σύμφωνα με τον ορισμό, αυτό μπορεί να γίνει για οσοδήποτε μικρή περιοχή του l.

Σύγκλιση της ακολουθίας an. Μετά τον δεύτερο όρο της, όλοι οι επόμενοι βρίσκονται μέσα στην περιοχή του a (δηλ. του l), που είναι και το όριο της. Επομένως, για το συγκεκριμένο ε, n0 = 2.

Η διατύπωση του ορισμού μπορεί να γίνει πιο κομψή, χρησιμοποιώντας τη λέξη τελικά, η οποία δεν είναι καθόλου ασαφής, ως εξής: μια ακολουθία έχει όριο έναν πραγματικό αριθμό L, αν για κάθε ε>0 τελικά ισχύει:

Εδώ, η λέξη τελικά σημαίνει: για όλα τα n>n0, που δείχνει ότι η κύρια πρόταση που ορίζει την έννοια της σύγκλισης μπορεί να μην ισχύει για τους πρώτους όρους της ακολουθίας (δηλαδή για έναν πεπερασμένο πλήθος από αυτούς), αλλά, αν υπάρχει το όριο, τότε είναι βέβαιο, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας και για όλους τους επόμενους (δηλαδή τους τελικούς) θα ισχύει η πρόταση αυτή.

Μοναδικότητα του όριου[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αποδεικνύεται ότι αν μια ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει όριο, τότε το όριό της αυτό είναι μοναδικό.

Η απόδειξη γίνεται ως εξής: Έστω ότι μια ακολουθία έχει δύο όρια, τα α και β τα οποία δεν είναι ίσα μεταξύ τους. Τότε, με βάση τον ορισμό του ορίου ακολουθίας έχουμε τα εξής:

και

.

Έστω τώρα, ο φυσικός αριθμός n0 ο οποίος είναι ο μεγαλύτερος των n1 και n2, δηλαδή, n0=max{n1, n2}. Τότε:

και ισχύει:

Από την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε:

Η σχέση ισχύει για κάθε ε > 0 και επομένως a = b που είναι άτοπο. Επομένως αν μια ακολουθία έχει όριο τότε το όριο αυτό είναι μοναδικό.

Σημειακή Σύγκλιση[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Suppose is a sequence of functions sharing the same domain and codomain.
The codomain is most commonly the reals, but in general can be any metric space.
The sequence converges pointwise to the function , often written as:

if and only if

for every x in the domain.

The function is said to be the pointwise limit function of .

For example,
if


is a sequence of functions defined by ,
then

pointwise on the interval [0,1),
but not uniformly.

The pointwise limit of a sequence of continuous functions may be a discontinuous function, but only if the convergence is not uniform.

Υποσημειώσεις[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εσωτερική Αρθρογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ιστογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.