Συναρτησιοειδής Μεταβολή

δ - Μεταβολή

variation

Λογισμός Μεταβολών.

- Μεταβολή ενός συναρτησιοειδούς.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Συναρτησιοειδής Μεταβολή" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "συναρτησιοειδές".

Εισαγωγή

In applied mathematics and the calculus of variations,

- η δ-μεταβολή ενός συναρτησιοειδούς (Φυσικής Δράσης)${\mathcal {I}}(x)\,$ ορίζεται ως:

$\delta {\mathcal {I}}(x,h)={\frac {d}{d\varepsilon }}{\mathcal {I}}(x+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}$

- η δ-μεταβολή ενός συναρτησιοειδούς (Λαγρασιανής) ${\mathcal {L}}(x)\,$ is ορίζεται ως:

$\delta {\mathcal {L}}(x,h)={\frac {d}{d\varepsilon }}{\mathcal {L}}(x+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}$

- η δ-μεταβολή μίας καμπύλης ${\mathcal {L}}(x)\,$ ορίζεται ως:

$\delta x={\frac {d}{d\varepsilon }}(x+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}={\frac {d}{d\varepsilon }}(\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}$

- η δ-μεταβολή μίας μεταβλητής $(t)\,$ ορίζεται ως:

$\delta t={\frac {d}{d\varepsilon }}(t+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}=0$

Μεταβολή Ορίζουσας

Jacobi's formula, the rule for differentiating a determinant, gives:

$\,\!\delta g=\delta \det(g_{\mu \nu })=g\,g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$

or one could transform to a coordinate system where $g_{\mu \nu }\!$ is diagonal and then apply the product rule to differentiate the product of factors on the main diagonal.

Using this we get

${\begin{aligned}\delta {\sqrt {-g}}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu })&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu })\,.\end{aligned}}$

In the last equality we used the fact that

$g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$

which follows from the rule for differentiating the inverse of a matrix

$\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }(\delta g_{\alpha \beta })g^{\beta \nu }\,.$

Thus we conclude that

${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }.$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Μεταβολικός Λογισμός variational culculus)
• Εξισώσεις Lagrange
• Φυσική Δράση
• Συναρτησιοειδής Μεταβολή (variation (δ))
• Λαγρασιανή
• Χαμιλτονιανή
• Αριστοποίηση

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• exampleproblems.com
• en.wikiversity.org

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---