Συνεχής Συνάρτηση

Συνεχής Συνάρτησις

Continuous function

Συναρτησιακή Συνέχεια

Μαθηματική Ανάλυση
Συνάρτηση

---

Πεδίο Ορισμού
Πεδίο Τιμών

---

Ενάρτηση
Εφάρτηση
Αμφάρτηση

---

Συναρτησιακή Μονοτονία
Συναρτησιακή Συνέχεια
Συναρτησιακή Σύγκλιση

Συναρτησιακή Συνέχεια

- Ένα είδος συνάρτησης.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Συνεχής" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "συνέχεια".

Εισαγωγή

Ένας μη αυστηρός ορισμός της έννοιας της συνέχειας, είναι ο εξής: μια συνάρτηση είναι συνεχής αν μικρές μεταβολές στο όρισμα της έχουν ως αποτέλεσμα μικρές μεταβολές στην τιμή της.

(Απλοϊκά (αν και αυτό είναι αρκετά ανακριβές) η Γραφική Παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς χρειαστεί να σηκώσουμε το "μολύβι" από το "χαρτί").

Συνέχεια πραγματικών συναρτήσεων

Ορισμός Cauchy, (έψιλον - δέλτα ορισμός)

Αν $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού $A \subseteq \mathbb{R}$ και το $x_0$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται συνεχής στο $x_0$ αν

$\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (x_{0},\epsilon )>0}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)$

Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Η συνάρτηση ονομάζεται συνεχής στο $A$ αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $A$, δηλαδή αν

$\forall _{x_{0}\in A}\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (x_{0},\epsilon )>0}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)$

Σε αντιδιαστολή προς την "ομοιόμορφη συνέχεια", η συνέχεια που ορίστηκε παραπάνω λέγεται και σημειακή συνέχεια.

Ορισμός μέσω ορίων

Ένας ορισμός που κάνει χρήση της έννοιας του ορίου στις πραγματικές συναρτήσεις λέει ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της αν το όριο της συνάρτησης στο σημείο αυτό συμπίπτει με την τιμή της, δηλαδή αν:

$\lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Αυτός ο ορισμός όμως δεν είναι αρκετός διότι το όριο $\lim_{x \to x_0} f(x)$ έχει έννοια μόνο όταν το $x_0$ είναι Σημείο Συσσώρευσης της συνάρτησης f και επομένως με τον ορισμό αυτό μπορούμε να ελέγξουμε αν μια συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία συσσώρευσής της, (αν όμως το $x_0$ δεν είναι σημείο συσσώρευσης της f, τότε είναι Μεμονωμένο Σημείο και επομένως η f είναι έτσι και αλλιώς συνεχής σε αυτό).

Αρχή της μεταφοράς (ορισμός Heine)

Μια πραγματική ακολουθία είναι συνεχής σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της Α αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία $(x_n)_{n=1}^\infty$ στο Α, με:

$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=x_{0},$

ισχύει:

$\lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x_{0})$

Με άλλα λόγια μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής κατά Heine αν διατηρεί τα όρια, δηλαδή αν το όριο των εικόνων ισούται με την εικόνα του ορίου.

Συνέχεια σε τοπολογικούς χώρους

Μια συνάρτηση f ορισμένη στο X που λαμβάνει τιμές στο Y, όπου X και Y είναι τοπολογικοί χώροι, είναι συνεχής στο x όπου $x \in X$ αν για κάθε γειτονιά V της f(x), υπάρχει μια γειτονιά U του x τέτοια ώστε $f(U)\subseteq V$. Με πιο απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι όσο μικρή κι αν γίνεται η V μπορούμε πάντα να βρούμε μια U του x που να απεικονίζεται στην V. Λέμε ότι η f είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε $x \in X$.

Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων

Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής

Το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής βασίζεται στην αρχή της πληρότητας και διατυπώνεται ως εξής:

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει f(α) < ρ < f(β) τότε υπάρχει ένα στοιχείο ξ στο [α, β] τέτοιος ώστε f(ξ) = ρ.

Ειδική περίπτωση του πιο πάνω είναι το εξής πόρισμα:

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει f(α)f(β) < 0 τότε υπάρχει ένα στοιχείο ξ στο [α, β] τέτοιος ώστε f(ξ) = 0.

Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής

Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής διατυπώνεται ως εξής:

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], είναι συνεχής σε αυτό τότε υπάρχουν στοιχεία μ και Μ στο [α, β] ώστε f(μ) = min(f) και f(β) = max(f).

Το προρρηθέν δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα. Για παράδειγμα η συνάρτηση $f:(0,1)\rightarrow \mathbb {R}$ με τύπο $f(x) = \frac{1}{x}$ είναι συνεχής στο (0, 1) αλλά δεν έχει μέγιστο.

Ομοιόμορφη συνέχεια

Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας είναι πιο ισχυρή από αυτήν της συνέχειας. Επιπλέον ενώ η συνέχεια μιας συνάρτησης είναι τοπική έννοια, δηλαδή αναφέρεται σε συγκεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της, η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας αναφέρεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

Λέμε ότι μια συνάρτηση $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ είναι ομοιόμορφα συνεχής αν

$\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (\epsilon )>0}\forall _{x_{0}\in A}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)$

Η θεμελιώδης διαφορά της ομοιόμορφης συνέχειας από τη σημειακή έγκειται στο ότι η ακτίνα δ δεν εξαρτάται από το κέντρο x₀ κάθε φορά, παρά μόνο από την ακτίνα ε.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• συνάρτηση
• Ολοκληρώσιμη Συνάρτηση
• Παραγωγίσιμη Συνάρτηση
• Τετραγωνικά Ολοκληρώσιμη Συνάρτηση
• Μη-Διαταρακτική Συνάρτηση

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia

• Continuity of Functions on Metric Spaces
• mathwarehouse.com

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---