Σφαίρα Bloch

Σφαίρα Bloch

Bloch Sphere

Σφαίρα Bloch

Σφαίρα Bloch

Σφαίρα Bloch

1〉 onto the south pole (θ = π).
The equator, with θ = π/2,
contains four additional cardinal points,
with ϕ = 0, π/2, π, 3π/2,
corresponding to
four complex states
respectively.
There is a one-to-one correspondence
between qubit states and points
on the Bloch sphere.

Σφαίρα Bloch

Γεωμετρία

---

Χωρόχρονος
Χώρος
Χρόνος

---

Διάσταση
Μήκος
Πλάτος
Ύψος

---

Εμβαδό
Όγκος
Υπερεμβαδό

---

Σημείο
Καμπύλη
Επιφάνεια
Χωροπεριοχή

---

Κοσμικό Σημείο
Κοσμική Καμπύλη
Βράνη

Οι τρείς Διαστάσεις

Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων

Επιφάνεια
Γεωμετρία
Μαθηματικά

Συνάρτηση
Επιφάνεια

- Ένα είδος επιφανειών.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Σφαίρα Bloch" σχετίζεται ετυμολογικά με το όνομα του φυσικού Felix Bloch..

Εισαγωγή

Στην Κβαντική Μηχανική, η σφαίρα Bloch είναι μια γεωμετρική αναπαράσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντομηχανικού συστήματος δύο επιπέδων.

Εναλλακτικά, είναι ο χώρος καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή 1 qubit.

Η σφαίρα Bloch είναι και γεωμετρικά μια σφαίρα και η αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων της σφαίρας και των καθαρών καταστάσεων μπορεί να δοθεί σαφώς.

Σε γενικευμένη μορφή, η σφαίρα Bloch μπορεί επίσης να αναφέρεται στο ανάλογο χώρο ενός κβαντικού συστήματος n επιπέδων.

Η κβαντική μηχανική είναι μαθηματικά διατυπωμένη σε ένα χώρο Hilbert ή Προβολικό χώρο Hilbert.

Ο χώρος των καθαρών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος δίδεται από τις "ακτίνες" στον χώρο Hilbert (δηλ. τα "σημεία" του Προβολικού χώρου Hilbert). Ο χώρος των ακτίνων σε οποιοδήποτε διανυσματικό χώρο είναι ένας Προβολικός Χώρος, και συγκεκριμένα, ο χώρος των ακτίνων (rays) σε ένα δισδιάστατο χώρο Hilbert είναι η Μιγαδική Προβολική Γραμμή (σφαίρα Riemann), η οποία είναι ισομορφική προς τη σφαίρα.

Η φυσική μετρική στην σφαίρα Bloch είναι η μετρική Fubini-Study.

To qubit

Για να δειχθεί αυτή η αντιστοιχία σαφώς, θεωρήστε την περιγραφή qubit της σφαίρας Bloch˙ οποιοδήποτε κβαντική κατάσταση $\psi$ μπορεί να γραφεί ως μια μιγαδική υπέρθεση των διανυσμάτων ket $|0\rang$ και $|1 \rangle$˙ επιπλέον, αφού οι παράγοντες φάσης δεν επηρεάζουν την φυσική κατάσταση, μπορούμε να πάρουμε την αναπαράσταση ώστε ο συντελεστής του $|0\rang$ να είναι πραγματικός και μη αρνητικός.

Έτσι το $\psi$ έχει μια αναπαράσταση ως

$|\psi \rangle =\cos \theta \,|0\rangle +e^{i\phi }\sin \theta \,|1\rangle \quad =\quad \cos \theta \,|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \theta \,|1\rangle$

με

$0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},\quad 0\leq \phi <2\pi .$

Εκτός από την περίπτωση όπου $\psi$ είναι ένα από τα διανύσματα ket $|0\rang$ ή $|1 \rangle$, η αναπαράσταση είναι μοναδική, δηλ. οι παράμετροι $\phi \,$ και $\theta \,$ προσδιορίζουν μοναδικά ένα σημείο στην μοναδιαία σφαίρα του Ευκλείδειου χώρου $\mathbb R^{3}$, δηλαδή το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες $(x, y, z)$ είναι

${\begin{matrix}x&=&\sin 2\theta \times \cos \phi \\y&=&\sin 2\theta \times \sin \phi \\z&=&\cos 2\theta .\end{matrix}}$

Σε αυτή την αναπαράσταση το $|0\rang$ είναι χαρτογραφημένο μέσα στο $(0,0,1)$ και το $|1 \rangle$ είναι χαρτογραφημένο μέσα στο $(0,0,-1)$.

Γενίκευση

Θεωρήστε ένα κβαντικό σύστημα n επιπέδων. Αυτό το σύστημα περιγράφεται από ένα n-διάστατο χώρο Hilbert H_n. Ο χώρος της καθαρής κατάστασης είναι εξ ορισμού το σύνολο των μονοδιάστατων ακτίνων (rays) του H_n.

Θεώρημα. Θέτουμε το U(n) να είναι η ομάδα Lie των μοναδιαίων πινάκων μεγέθους n. Τότε ο χώρος καθαρής κατάστασης του H_n μπορεί να αναγνωριστεί με το συμπαγή σύμπλοκο χώρο

$\operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).$

Για να αποδείξουμε αυτό το γεγονός, σημειώνουμε ότι υπάρχει μια φυσική ομαδική πράξη του U(n) στο σύνολο των καταστάσεων του H_n. Αυτή η πράξη είναι συνεχής και μεταβατική στις καθαρές καταστάσεις.

Για οποιαδήποτε κατάσταση ψ, το σύνολο σταθερών σημείων του ψ, (ορισμένο ως το σύνολο των στοιχείων g του U(n) τέτοια ώστε g ψ = ψ) είναι ισομορφικό προς την ομάδα γινομένων

$\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).$

Από αυτό το σημείο ο ισχυρισμός του θεωρήματος ακολουθεί βασικά αξιώματα για τις μεταβατικές πράξεις ομάδων σε συμπαγείς ομάδες.

Το σημαντικό γεγονός που πρέπει να σημειωθεί στα παραπάνω είναι ότι η μοναδιαία ομάδα δρα μεταβατικά σε καθαρές καταστάσεις.

Τώρα η (πραγματική) διάσταση του U(n) είναι n². Αυτό είναι εύκολο να το δούμε αφού ο εκθετικός χάρτης

$A\mapsto e^{iA}$

είναι ένας τοπικός ομοιομορφισμός από το χώρο των αυτοσυζυγών μιγαδικών μητρών στο U(n). Ο χώρος των αυτοσυζυγών μιγαδικών μητρών έχει πραγματική διάσταση n².

Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης του H_n είναι 2n − 2.

Ουσιαστικά,

$n^{2}-((n-1)^{2}+1)=2n-2.\quad$

Ας εφαρμόσουμε αυτό για να εξετάσουμε την πραγματική διάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit. Ο αντίστοιχος χώρος Hilbert έχει διάσταση 2^m.

Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit είναι 2^m+1 − 2.

Η γεωμετρία των τελεστών πυκνότητας

Οι διατυπώσεις της κβαντικής μηχανικής με όρους καθαρών καταστάσεων είναι επαρκείς για απομονωμένα συστήματα˙ γενικά κβαντικά συστήματα πρέπει να περιγράφονται με όρους τελεστών πυκνότητας. Η τοπολογική περιγραφή περιπλέκεται από το γεγονός ότι η μοναδιαία ομάδα δεν ενεργεί μεταβατικά σε τελεστές πυκνότητας. Επιπλέον οι τροχιές παρουσιάζουν μεγάλη διαφοροποίηση, όπως προκύπτει από την ακόλουθη παρατήρηση:

Θεώρημα. Υποθέστε ότι A είναι ένας τελεστής πυκνότητας σε ένα κβαντικό σύστημα n επιπέδων του οποίου οι διακριτές ιδιοτιμές είναι μ₁, ..., μ_k με πολλαπλότητες n₁, ...,n_k. Τότε η ομάδα των μοναδιαίων τελεστών V ώστε V A V* = A είναι ισομορφική (ως μια ομάδα Λι) προς

$\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).$

Συγκεκριμένα η τροχιά του A είναι ισομορφική προς

$\operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})).$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Σφαίρα Riemann
• Επιφάνεια Riemann
• Υπερεπιφάνεια
• Σχήμα
• Σημείο
• γωνία
• καμπύλη
• Κλειστή Επιφάνεια
• Ανοικτή Επιφάνεια
• Ισοσταθμική Επιφάνεια
• Φιάλη Klein, Σφαίρα Riemann

Βιβλιογραφία

• Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement", Journal of Physics Conference Series, 39 (2006) σελ.9-16. (Αγγλικά)

• Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). (Ένα μικρό animation ενός διανύσματος Bloch υποβαλλόμενο σε μια αντηχητική διέγερση.)

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• Quantum States And The Bloch Sphere, medium.com
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---