Σύστημα Συντεταγμένων

Coordinate System

- Ένα στοιχείο της Γεωμετρίας με εφαρμογές στην Φυσική.

Περιεχόμενα

1 Ορισμός
2 Είδη Συστημάτων Συντεταγμένων
3 Αναπαραστάσεις Διανυσμάτων
4 Υποσημειώσεις
5 Εσωτερική Αρθρογραφία
6 Βιβλιογραφία
7 Ιστογραφία

Ορισμός[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Είναι ένα σύνολο αξόνων, τεμνομένων, σε ένα σημείο (την αρχή Ο) που χρησιμοποιείται στον προσδιρισμό της θέσης ενός σημείου ενός n-διάστατου Χώρου.

Για τον προσδιορισμό αυτόν χρησιμοποιούνται, συνήθως, γωνίες και αποστάσεις.

Είδη Συστημάτων Συντεταγμένων[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων (Cartesian Coordinate System) (or "Rectangular Coordinate System"), καθορίζει την θέση ενός σημείου, του τρισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου, με την βοήθεια τριών αποστάσεων από τους άξονες.

Καμπυλόγραμμο Σύστημα Συντεταγμένων[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το Καμπυλόγραμμο Σύστημα Συντεταγμένων (Curvilinear Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείο, του τρισδιάστατου καμπύλου (curved) Χώρου, με την βοήθεια τριών γωνιών.

Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων (Polar Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείου, του δισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου (δηλ. σε ένα επίπεδο), με την βοήθεια μίας γωνίας και μίας απόστασης από την αρχή Ο.

Ο Μετασχηματισμός από τις Πολικές Συντεταγμένες $(r,\theta )$ στις Καρτεσιανές Συντεταγμένες $(x,y)$ είναι:

x=r\cos \theta \,

y=r\sin \theta \,

όπου:

r είναι η ακτινική απόσταση από την αρχή (pole) (Ο), and
θ είναι η δεξιόστροφη (anticlockwise) (counterclockwise) γωνία from the 0° ray (ή αλλιώς πολικός άξονας), which is the section of the Cartesian x-axis from the origin eastward.

Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων (Cylindrical Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείο του τρισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου (δηλ. σε ένα επίπεδο) με την βοήθεια μίας γωνίας, μιάς απόστασης από την αρχή Ο, και μίας απόστασης από άξονα.

Ο Μετασχηματισμός από τις Κυλινδρικές Συντεταγμένες $(r,\theta ,z)$ στις Καρτεσιανές Συντεταγμένες $(x,y,z)$ είναι:

\left[{\begin{matrix}x&=&\rho \cos \phi \\y&=&\rho \sin \phi \\z&=&z\end{matrix}}\right.

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:

\left[{\begin{matrix}\rho &=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\phi &=&\operatorname {atan2} (y,x)\\z&=&z\end{matrix}}\right.

Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων (Spherical Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείο του τρισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου (δηλ. σε ένα επίπεδο) με την βοήθεια δύο γωνιών και μιάς απόστασης από την αρχή Ο.

Ο Μετασχηματισμός από τις Σφαιρικές Συντεταγμένες $(r,\theta ,\phi )$ στις Καρτεσιανές Συντεταγμένες $(x,y,z)$ είναι:

\left[{\begin{matrix}x&=&r\sin \theta \cos \phi \\y&=&r\sin \theta \sin \phi \\z&=&r\cos \theta \end{matrix}}\right.

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:

\left[{\begin{matrix}r&=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=&\arccos(z/r)\\\phi &=&\operatorname {atan2} (y,x)\end{matrix}}\right.

Αναπαραστάσεις Διανυσμάτων[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα βαθμωτό μέγεθος δεν επηρρεάζεται από τα χρησιμοποιούμενα συστήματα συντεταγμένων, δηλ. παραμένει αναλλοίωτο.

Ένα διάνυσμα όμως έχει διαφορετικές αναπαραστάσεις:

**Αναπαραστάσεις Διανυσμάτων**
- / -	Καρτεσιανό Σύστημα (x,y,z)	Κυλινδρικό Σύστημα (ρ,φ,z)	Σφαιρικό Σύστημα (r,θ,φ)
Συντεταγμένες		$\left[{\begin{matrix}x&=&\rho \cos \phi \\y&=&\rho \sin \phi \\z&=&z\end{matrix}}\right.$	$\left[{\begin{matrix}x&=&r\sin \theta \cos \phi \\y&=&r\sin \theta \sin \phi \\z&=&r\cos \theta \end{matrix}}\right.$
Συντεταγμένες		$\left[{\begin{matrix}\rho &=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\phi &=&\operatorname {atan2} (y,x)\\z&=&z\end{matrix}}\right.$	$\left[{\begin{matrix}r&=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=&\arccos(z/r)\\\phi &=&\operatorname {atan2} (y,x)\end{matrix}}\right.$
Διάνυσμα $\mathbf {A}$	$A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}}$	$A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}$	$A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$
Διαφορική Μετατόπιση	$d\mathbf {r} =dx\mathbf {\hat {x}} +dy\mathbf {\hat {y}} +dz\mathbf {\hat {z}}$	$d\mathbf {r} =d\rho {\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho d\phi {\boldsymbol {\hat {\phi }}}+dz{\boldsymbol {\hat {z}}}$	$d\mathbf {r} =dr\mathbf {\hat {r}} +rd\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin \theta d\phi {\boldsymbol {\hat {\phi }}}$
Διαφορικό Εμβαδό	${\begin{matrix}d\mathbf {S} =&dydz\mathbf {\hat {x}} +\\&dxdz\mathbf {\hat {y}} +\\&dxdy\mathbf {\hat {z}} \end{matrix}}$	${\begin{matrix}d\mathbf {S} =&\rho d\phi dz{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\\&d\rho dz{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+\\&\rho d\rho d\phi \mathbf {\hat {z}} \end{matrix}}$	${\begin{matrix}d\mathbf {S} =&r^{2}\sin \theta d\theta d\phi \mathbf {\hat {r}} +\\&r\sin \theta drd\phi {\boldsymbol {\hat {\theta }}}+\\&rdrd\theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{matrix}}$
Διαφορικός Όγκος	$dv=dxdydz\,$	$dv=\rho d\rho d\phi dz\,$	$dv=r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi \,$

Υποσημειώσεις[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εσωτερική Αρθρογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σύστημα Συντεταγμένων χειρομορφία (chirality)

Βιβλιογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ιστογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)