Σύστημα Συντεταγμένων
- Ένα στοιχείο της Γεωμετρίας με εφαρμογές στην Φυσική.
Ορισμός
Edit
Σύστημα Συντεταγμένων.
Είναι ένα σύνολο αξόνων, τεμνομένων, σε ένα σημείο (την αρχή Ο) που χρησιμοποιείται στον προσδιρισμό της θέσης ενός σημείου ενός n-διάστατου Χώρου.
Για τον προσδιορισμό αυτόν χρησιμοποιούνται, συνήθως, γωνίες και αποστάσεις.
Είδη Συστημάτων ΣυντεταγμένωνEdit
Καρτεσιανό Σύστημα ΣυντεταγμένωνEdit
Το Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων (Cartesian Coordinate System) (or "Rectangular Coordinate System"), καθορίζει την θέση ενός σημείου, του τρισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου, με την βοήθεια τριών αποστάσεων από τους άξονες.
Καμπυλόγραμμο Σύστημα ΣυντεταγμένωνEdit
Το Καμπυλόγραμμο Σύστημα Συντεταγμένων (Curvilinear Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείο, του τρισδιάστατου καμπύλου (curved) Χώρου, με την βοήθεια τριών γωνιών.
Πολικό Σύστημα ΣυντεταγμένωνEdit
Το Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων (Polar Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείου, του δισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου (δηλ. σε ένα επίπεδο), με την βοήθεια μίας γωνίας και μίας απόστασης από την αρχή Ο.
Ο Μετασχηματισμός από τις Πολικές Συντεταγμένες $ (r, \theta ) $ στις Καρτεσιανές Συντεταγμένες $ (x, y) $ είναι:
- $ x = r \cos \theta \, $
- $ y = r \sin \theta \, $
όπου:
- r είναι η ακτινική απόσταση από την αρχή (pole) (Ο), and
- θ είναι η δεξιόστροφη (anticlockwise) (counterclockwise) γωνία from the 0° ray (ή αλλιώς πολικός άξονας), which is the section of the Cartesian x-axis from the origin eastward.
Κυλινδρικό Σύστημα ΣυντεταγμένωνEdit
Το Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων (Cylindrical Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείο του τρισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου (δηλ. σε ένα επίπεδο) με την βοήθεια μίας γωνίας, μιάς απόστασης από την αρχή Ο, και μίας απόστασης από άξονα.
Ο Μετασχηματισμός από τις Κυλινδρικές Συντεταγμένες $ (r, \theta, z) $ στις Καρτεσιανές Συντεταγμένες $ (x, y, z) $ είναι:
- $ \left[\begin{matrix} x & = & \rho\cos\phi \\ y & = & \rho\sin\phi \\ z & = & z \end{matrix}\right. $
Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:
- $ \left[\begin{matrix} \rho & = & \sqrt{x^2 + y^2} \\ \phi & = & \operatorname{atan2}(y, x) \\ z & = & z \end{matrix}\right. $
Σφαιρικό Σύστημα ΣυντεταγμένωνEdit
Σύστημα Συντεταγμένων.
Το Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων (Spherical Coordinate System) καθορίζει την θέση ενός σημείο του τρισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου (δηλ. σε ένα επίπεδο) με την βοήθεια δύο γωνιών και μιάς απόστασης από την αρχή Ο.
Ο Μετασχηματισμός από τις Σφαιρικές Συντεταγμένες $ ( r, \theta, \phi ) $ στις Καρτεσιανές Συντεταγμένες $ ( x , y, z ) $ είναι:
- $ \left[\begin{matrix} x & = & r\sin\theta\cos\phi \\ y & = & r\sin\theta\sin\phi \\ z & = & r\cos\theta \end{matrix}\right. $
Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:
- $ \left[\begin{matrix} r & = & \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta & = & \arccos(z / r) \\ \phi & = & \operatorname{atan2}(y, x) \end{matrix}\right. $
Αναπαραστάσεις ΔιανυσμάτωνEdit
Ένα βαθμωτό μέγεθος δεν επηρρεάζεται από τα χρησιμοποιούμενα συστήματα συντεταγμένων, δηλ. παραμένει αναλλοίωτο.
Ένα διάνυσμα όμως έχει διαφορετικές αναπαραστάσεις:
| - / - | Καρτεσιανό Σύστημα (x,y,z) | Κυλινδρικό Σύστημα (ρ,φ,z) | Σφαιρικό Σύστημα (r,θ,φ) |
|---|---|---|---|
| Συντεταγμένες | $ \left[\begin{matrix} x & = & \rho\cos\phi \\ y & = & \rho\sin\phi \\ z & = & z \end{matrix}\right. $ | $ \left[\begin{matrix} x & = & r\sin\theta\cos\phi \\ y & = & r\sin\theta\sin\phi \\ z & = & r\cos\theta \end{matrix}\right. $ | |
| $ \left[\begin{matrix} \rho & = & \sqrt{x^2 + y^2} \\ \phi & = & \operatorname{atan2}(y, x) \\ z & = & z \end{matrix}\right. $ | $ \left[\begin{matrix} r & = & \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta & = & \arccos(z / r) \\ \phi & = & \operatorname{atan2}(y, x) \end{matrix}\right. $ | ||
| Διάνυσμα $ \mathbf{A} $ | $ A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} $ | $ A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} + A_z\boldsymbol{\hat z} $ | $ A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} $ |
| Διαφορική Μετατόπιση | $ d\mathbf{r} = dx\mathbf{\hat x} + dy\mathbf{\hat y} + dz\mathbf{\hat z} $ | $ d\mathbf{r} = d\rho\boldsymbol{\hat \rho} + \rho d\phi\boldsymbol{\hat \phi} + dz\boldsymbol{\hat z} $ | $ d\mathbf{r} = dr\mathbf{\hat r} + rd\theta\boldsymbol{\hat \theta} + r\sin\theta d\phi\boldsymbol{\hat \phi} $ |
| Διαφορικό Εμβαδό | $ \begin{matrix}d\mathbf{S} = &dydz\mathbf{\hat x} + \\ &dxdz\mathbf{\hat y} + \\ &dxdy\mathbf{\hat z}\end{matrix} $ | $ \begin{matrix} d\mathbf{S} = & \rho d\phi dz\boldsymbol{\hat \rho} + \\ & d\rho dz\boldsymbol{\hat \phi} + \\ & \rho d\rho d\phi \mathbf{\hat z} \end{matrix} $ | $ \begin{matrix} d\mathbf{S} = & r^2 \sin\theta d\theta d\phi \mathbf{\hat r} + \\ & r\sin\theta drd\phi \boldsymbol{\hat \theta} + \\ & rdrd\theta\boldsymbol{\hat \phi} \end{matrix} $ |
| Διαφορικός Όγκος | $ dv = dxdydz \, $ | $ dv = \rho d\rho d\phi dz\, $ | $ dv = r^2\sin\theta drd\theta d\phi\, $ |
ΥποσημειώσειςEdit
Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit
ΒιβλιογραφίαEdit
ΙστογραφίαEdit
 Κίνδυνοι Χρήσης
|
|---|
|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)
