Τετραδική Ομάδα Klein

Τετραδική Ομάδα Klein

Klein four-group, mathworld.wolfram.com, Vierergruppe, Rotations and reflections in two dimensions

μονάδα
αιωνιότητα

Τετραδική Ομάδα Klein

Φανταστική Μονάδα
Τετραδική Ομάδα Klein

---

Η φανταστική μονάδα i είναι κάτι περισσότερο από απλώς ένας αριθμός.
Aντιπροσωπεύει μια θεμελιώδη περιστροφική πράξη στα μαθηματικά.
Εξ ορισμού:
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1 (ολοκλήρωση ενός πλήρους κύκλου) Αυτός ο κύκλος επαναλαμβάνεται κάθε τέσσερεις δυνάμεις,
δείχνοντας ότι ο πολλαπλασιασμός με τον αριθμό i
ισοδυναμεί με αριστερόστροφη περιστροφή 90° στο Μιγαδικό Επίπεδο. Υπό αυτή την έννοια,
ο αριθμος i λειτουργεί ως «τελεστής μετασχηματισμού»,
περιστρέφοντας διανύσματα (διατηρώντας παράλληλα το μέγεθός τους)
ακριβώς όπως,
οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στην Φυσική και την Μηχανική. Τα μαθηματικά δεν είναι μόνο αριθμοί. Είναι θεμελιώδη δομήματα που διαμορφώνουν την κατανόηση για τον Χώρο, την Κίνηση και την Πραγματικότητα.

Τετραδική Ομάδα Klein

Τετραδική Ομάδα Klein
Αναστροφή

Τετραδική Ομάδα Klein

---

The most intuitive way to understand the Klein four-group is through performing four simple rotation operations.
First find a book and hold it in your hands with the title facing you, while imagining the book is sitting in cartesian coordinate space.
Second, rotate the book 180 degrees about the x-axis, the horizontal line through the center of the book.
Third, rotate the book 180 degrees about the y-axis, the vertical like through the center of the book.
Finally, rotate the book 180 degrees about the z-axid, the line through the center perpendicular of the book.

Τετραδική Ομάδα Klein

Τετραδική Ομάδα Klein

Τετραδική Ομάδα Klein

Τετραδική Ομάδα Klein

Τετραδική Ομάδα Klein

---

Μεταπεριστροφή (screw rotation)
Μεταντιστροφή (glide reflaxion = Transreflaxion)

Ομαδοθεωρία

---

Αλγεβρική Ομάδα
Γενική Γραμμική Ομάδα
Ορθογώνια Ομάδα
Μοναδιακή Ομάδα

---

Μαθηματική Αναπαράσταση
Μαθηματική Μήτρα

- Μία Αλγεβρική Ομάδα.

Ετυμολογία

Η ονομασία "ομάδα" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "ομού".

Εισαγωγή

In mathematics, the Klein four-group is a group with four elements, in which each element is self-inverse (composing it with itself produces the identity) and in which composing any two of the three non-identity elements produces the third one.

It can be described as the symmetry group of a non-square rectangle (with the three non-identity elements being horizontal and vertical reflection and 180-degree rotation), as the group of bitwise exclusive or operations on two-bit binary values, or more abstractly as Z2 × Z2, the direct product of two copies of the cyclic group of order 2.

It was named Vierergruppe (meaning four-group) by Felix Klein in 1884. It is also called the Klein group, and is often symbolized by the letter V or as K4.

The Klein four-group, with four elements, is the smallest group that is not a cyclic group.

There is only one other group of order four, up to isomorphism, the cyclic group of order 4. Both are abelian groups.

The smallest non-abelian group is the symmetric group of degree 3, which has order 6.

Ανάλυση

The Klein group's Cayley table is given by:

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

The Klein four-group is also defined by the group presentation

$\mathrm {V} =\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .$

All non-identity elements of the Klein group have order 2, thus any two non-identity elements can serve as generators in the above presentation. The Klein four-group is the smallest non-cyclic group. It is however an abelian group, and isomorphic to the dihedral group of order (cardinality) 4, i.e. D₄ (or D₂, using the geometric convention); other than the group of order 2, it is the only dihedral group that is abelian.

The Klein four-group is also isomorphic to the direct sum Z₂ ⊕ Z₂ , so that it can be represented as the pairs {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} under component-wise addition modulo 2 (or equivalently the bit strings {00, 01, 10, 11} under bitwise XOR); with (0,0) being the group's identity element. The Klein four-group is thus an example of an elementary abelian 2-group, which is also called a Boolean group. The Klein four-group is thus also the group generated by the symmetric difference as the binary operation on the subsets of a powerset of a set with two elements, i.e. over a field of sets with four elements, e.g. $\{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}$;

the empty set is the group's identity element in this case.

Another numerical construction of the Klein four-group is the set { 1, 3, 5, 7 } with the operation being multiplication modulo 8. Here a is 3, b is 5, and c = ab is 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

The Klein four-group has a representation as 2x2 real matrices with the operation being matrix multiplication:

$e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,\,a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,\,b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,\,c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Υπάρχουν µε προσέγγιση ισοµορφίας δύο µόνον οµάδες τάξης 4:

• η κυκλική τάξης 4 και
• η οµάδα Klein.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Ομάδα
• Γράφημα Cayley
• Ομαδοθεωρία
• Ορθογώνια Ομάδα
• Μοναδιακή Ομάδα
• Ετερωτική Ομάδα
• Αναπαράσταση
• Μήτρα
• Τοπολογική Συνομολογία

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• thatsmaths.com
• Understanding Symmetries and Geometry through Dance, L. Olliverrie
• [https://www.quora.com/What-is-the-order-of-each-element-of-multiplicative-group-G-1-1-i-i-What-are-the-generators-of-G group-G-1-1-i-i, quora}

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---