Τύπος Euler









In the language of topology (topological inteprentation),
Euler's formula states that
the imaginary exponential function t ↦ eit
is a (surjective) morphism of topological groups from the real line ℝ to the unit circle 1.
In fact, this exhibits ℝ as a covering space of .
---
Similarly, Euler's identity says that
the kernel of this map is τℤ,
where τ = 2π.
These observations
may be combined and summarized
in this commutative diagram


Μαθηματικό Θεώρημα Μαθηματικά Θεωρήματα Μαθηματική Εικασία Μαθηματικές Εικασίες Εξίσωση Εξισώσεις Μαθηματικό Αξίωμα Μαθηματικά Αξιώματα
Νόμοι Φυσικής
Αριθμός Αριθμοί Μαθηματικός Χώρος Μαθηματικοί Χώροι

Μαθηματική Εξίσωση Εξισώσεις Μαθηματικές ΕξισώσειςΑλγεβρική Εξίσωση Αλγεβρικές Εξισώσεις Διαφορική Εξίσωση Διαφορικές Εξισώσεις
Φυσική Φυσικός Νόμος

- Μία Μαθηματική Ταυτότητα.
Ετυμολογία[]
Η ονομασία "ταυτότητα Euler" σχετίζεται ετυμολογικά με την όνομα του μαθηματικού "Euler".
Εισαγωγή[]
Η ταυτότητα του Euler στη Mαθηματική Aνάλυση, είναι η εξίσωση
όπου
- είναι ο αριθμός του Euler, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,
- είναι ο Φανταστικός Αριθμός, ένας από τους δύο μιγαδικούς αριθμούς του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα (ο άλλος είναι το ), και
- ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.
Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Euler και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Euler.
Απόδειξη[]
Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση της φόρμουλας του Όιλερ, που διατυπώνεται ως εξής:
για κάθε πραγματικό αριθμό x. (οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια.)
Συγκεκριμένα, αν
τότε
Αφού
και
αποδεικνύεται ότι
που δίνει την ταυτότητα
Ονοματοδότηση[]
Αν και ο Euler έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνημίτονο, δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας.
Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Euler. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδωθεί στον Euler.
Υποσημειώσεις[]
Εσωτερική Αρθρογραφία[]
Βιβλιογραφία[]
Ιστογραφία[]
![]() ![]() |
---|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)