Φανταστικός Αριθμός

Φανταστικός Αριθμός

Imaginary Number

Μιγαδικός Αριθμός Φανταστικός Αριθμός

Αρνητικός Αριθμός Φανταστικός Αριθμός

Φανταστικός Αριθμός

Διακριτά Μαθηματικά Αριθμητική Αριθμοθεωρία Αριθμός Μαθηματική Πράξη Τελεστής

Οι "Φανταστικοί Αριθμοί" αποτελούν ένα είδος αριθμών.

Ετυμολογία

Αριθμοί
Α. Αριθμοσύνολα
Φυσικός Αριθμός Number Ακέραιος Αριθμός Number Ρητός Αριθμός Number Άρρητος Αριθμός Number Υπερβατικός Αριθμός Number Πραγματικός Αριθμός Number Φανταστικός Αριθμός Number Μιγαδικός Αριθμός Number Άρτιος Αριθμός Number Περιττός Αριθμός Number Θετικός Αριθμός Number Αρνητικός Αριθμός Number --- Αλγεβρικός Αριθμός Number Πρώτος Αριθμός Number
Β. Ειδικοί Αριθμοί
Μηδενικός Αριθμός Number Μοναδιαίος Αριθμός Number Αριθμός i Number Αριθμός π Number Αριθμός e Number
Γ. Άλλοι Αριθμοί
Αντίστροφος Αριθμός Number Αντίθετος Αριθμός Number Ασύμμετρος Αριθμός Number Περιοδικός Αριθμός Number Απεριοδικός Αριθμός Number Δεκαδικός Αριθμός Number Κλασματικός Αριθμός Number Σιμμιγής Αριθμός Number Κβαντικός Αριθμός Number Μαγικός Αριθμός Number Χρυσός Αριθμός Number Αποκαλυπτικός Αριθμός Number
Δ. Ψηφία
Ένα Number Δύο Number Τρία Number Τέσσερα Number Πέντε Number Έξι Number Επτά Number Οκτώ Number Εννέα Number Δέκα Number Εκατό Number Χίλια Number Εκατομμύριο Number

Η ονομασία "φανταστικός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "φάσμα".

Εισαγωγή

Στα Μαθηματικά, ένας φανταστικός αριθμός (ή καθαρά φανταστικός αριθμός) είναι ένας Μιγαδικός Αριθμός, το τετράγωνο του οποίου είναι ένας αρνητικός Πραγματικός Αριθμός. Ο όρος επινοήθηκε από τον Καρτέσιο το 1637 στο έργο του "[Η Γεωμετρία]" (La Géométrie) και είχε κάπως υποτιμητική σημασία. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού, είτε θετικός είναι είτε αρνητικός, είναι πάντα ένας θετικός αριθμός.

Συνεπώς, αριθμοί με τις ιδιότητες των φανταστικών αριθμών θεωρούνταν εκείνη την εποχή ότι δεν μπορεί να "υπάρχουν" πραγματικά, όπως άλλωστε και το μηδέν και οι αρνητικοί αριθμοί θεωρήθηκαν, σε παλαιότερες εποχές, από διάφορους μαθηματικούς ως πλασματικοί ή μη ρεαλιστικοί (δηλ. άχρηστοι για την Επιστήμη).

Μπορεί κανείς να θεωρήσει τους φανταστικούς αριθμούς ως μια επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών και ως μια "μαθηματική αφαίρεση".

Ορισμός

Κάθε Μιγαδικός Αριθμός μπορεί να γραφεί στη μορφή $a+bi$,

όπου:

$a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί και

$i$ είναι η Φανταστική Μονάδα με την ιδιότητα:

$i^{2}=-1\,\Longleftrightarrow i={\sqrt {-1}}$

δηλαδή, η Φανταστική Μονάδα έχει την ιδιότητα να αποτελεί την Τετραγωνική Ρίζα της αρνητικής μονάδας (-1).

Ο αριθμός $a$ είναι το πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, ενώ ο $b$ είναι το φανταστικό μέρος. Μολονότι ο Καρτέσιος χρησιμοποίησε αρχικά τον όρο "φανταστικός αριθμός" για να υποδηλώσει αυτό που ονομάζουμε σήμερα "μιγαδικό αριθμό", ο όρος "φανταστικός αριθμός" σήμερα σημαίνει συνήθως τον μιγαδικό αριθμό με πραγματικό μέρος ίσο με το $0$, δηλαδή έναν αριθμό της μορφής $bi$.

(Μερικές φορές λέμε ότι οι φανταστικοί αριθμοί είναι "τα πολλαπλάσια της φανταστικής μονάδας").

Ας σημειωθεί ότι, τυπικά, το $0$ θεωρείται καθαρά φανταστικός αριθμός: το $0$ είναι ο μόνος μιγαδικός αριθμός που είναι ταυτόχρονα πραγματικός και καθαρά φανταστικός.

Οι φανταστικοί αριθμοί στην Επιστήμη

Παρά το παραπλανητικό τους όνομα, οι φανταστικοί αριθμοί είναι όχι μόνο υπαρκτοί αλλά και πολύ χρήσιμοι, με εφαρμογές στην Επιστήμη και ιδιαίτερα στην Ηλεκτροφυσική, στην Κυματική και σε πολλές άλλες εφαρμογές.

Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών τους καθιστά ιδανικούς για την αναπαράσταση περιστρεφόμενων διανυσμάτων και φάσεων και συνεπώς χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην Ηλεκτρονική (για την αναπαράσταση φυσικών μεγεθών του Εναλλασσόμενου Ρεύματος), και γενικά στη μελέτη των περιοδικών φαινομένων.

Άστοχη Ονοματοδοσία

Η ορολογία «φανταστικός» αποτελεί μαθηματική "ορολογική" αστοχία, αλλά είναι σε τέτοιο βαθμό εδραιωμένη που δεν μπορούν πλέον οι μαθηματικοί να την αναιρέσουν.

Η Στοιχειώδης Άλγεβρα δίνει μια απλή ερμηνεία των φανταστικών αριθμών (ιδιαιτερα ρεαλιστική) στην γλώσσα των στροφών.

Ετσι, αν ερμηνεύσουμε τον πολλαπλασιασμό ir (οπου r ένας οποιοσδήποτε Πραγματικός Αριθμός) ως στροφή του ευθύγραμμου τμήματος (OA) περί το σημείο O, κατά ορθή γωνία, τότε το (ΟA) στρέφεται και συμπίπτει με τον άξονα Οy,

Στην συνέχεια, ένας επόμενος πολλαπλασιασμός με i, συγκεκριμένα iir, στρέφει το Οc, κατά μία ακόμη ορθή γωνία, και τελικά το +Οr γίνεται -Οr.

Ως πράξη ο πολλαπλασιασμός με ii έχει το ίδιο αποτέλεσμα με τον πολλαπλασιασμό με -1, ενώ ο πολλαπλασιασμός με i έχει το ίδιο αποτέλεσμα με τη στροφή κατά ορθή γωνία.

Αυτές οι ερμηνείες, όπως ειδαμε, είναι συνεπείς.

Αν επιθυμούμε, μπορούμε να γράψουμε ii = -1 (oταν εκτελούμε πράξεις) ή i²= -1, oπότε η Μαθηματική Πράξη της στροφής, κατά ορθή γωνία, συμβολίζεται με Τετραγωνική Ρίζα του -1.

Η παραπάνω διαδικασία προσδίδει στα σύμβολα και στις πράξεις της άλγεβρας διάφορες σημασίες που οδηγούν σε "αμοιβαία συνέπεια".

Απλά, η μέθοδος των στροφών, υποδηλώνει ότι δεν υπάρχει κάτι "Φανταστικό (ή μυστικιστικό)" στην υφή των «φανταστικών» αριθμών.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Πραγματικός Αριθμός
• Μιγαδικός Αριθμός
• Αριθμοσύνολο

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• mathsforyou.gr
• betterexplained.com
• videoclip

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---