Φασικός Χώρος

configuration space, Position and momentum space, Phase space, reciprocal space

Attractors-phase-space-01-goog — Εκκρεμές
Ελκυστής
**Φασικός Χώρος**

Phase-Space-Planck-constant-01-goog — **Φασικός Χώρος**
Σταθερά Planck

Phase-Space-05-goog — **Φασικός Χώρος**
ταχύτητα
Θέση

Motion-Harmonic-01-goog — **Φασικός Χώρος**
Αρμονική Ταλάντωση
Αρμονικός Ταλαντωτής

Phase-Space-00-goog — **Φασικός Χώρος** *Καλλιτεχνική Αναπαράσταση*

Reciprocal-Space-05-goog — **Φασικός Χώρος**

- Ένας Μαθηματικός Χώρος

Ετυμολογία[]

Φυσικά Μεγέθη
Είδη Μονόμετρα Μεγέθη Διανυσματικά Μεγέθη Τανυστικά Μεγέθη Εκτατικά Μεγέθη Εντατικά Μεγέθη Δυναμικά Μεγέθη Δυνητικά Μεγέθη
Α. Κινηματική
Χρόνος Μετατόπιση Ταχύτητα Επιτάχυνση
Β. Δυναμική
Ενέργεια Ορμή Στροφορμή Ιδιοστροφορμή Ισχύς Δύναμη Ροπή Ιδιορροπή
Γ. Κυματική
ύπαρξη «πρόκλησης»
Συχνότητα Περίοδος Πλάτος Κύματος Μήκος Κύματος
Δ. Ελαστική Δυναμική
Πίεση Τάση Παραμόρφωση

Η ονομασία "φασιακός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "φάση".

Ορισμός[]

Φασικός Χώρος ονομάζεται ένας Χώρος που έχει συντεταγμένες τις βασικές παραμέτρους που περιγράφουν ένα Φυσικό Σύστημα. V_x, V_y, V_z

Εισαγωγή[]

Ο φασικός χώρος είναι ένας μαθηματικός χώρος του συνόλου όλων των πιθανών καταστάσεων ενός Φυσικού Συστήματος που καλούνται και "φάσεις".

Μία "φάση" προσδιορίζει πλήρως την κατάσταση του Φυσικού Συστήματος σε μία χρονική στιγμή.

Δηλαδή μία "φάση" περιέχει όλες εκείνες τις τιμές των Φυσικών Μεγεθών που αρκούν να χρησιμοποιηθούν προκειμένου να προσδιορισθούν μεταγενέστερες καταστάσεις, που θα βασίζονται στις ίδιες αρχικές συνθήκες της προγενέστερης κατάστασης.

Η τροχιά σχεδιάζεται από ένα σύνολο διαδοχικών φάσεων στον φασικό χώρο, περιγράφοντας έτσι την εξέλιξη του Φυσικού Συστήματος.

Διαφορετικές αρχικές συνθήκες αντιστοιχούν και σε ένα διαφορετικό τρόπο εξέλιξης του συστήματος. Για την περίπτωση ενός σωματιδίου που κινείται σε ευθεία ο φασικός χώρος είναι το επίπεδο (x,v) θέσης - ταχύτητας του σωματιδίου.

Ο (Συμπληρωματικός του Φασικού) Φασματικός Χώρος χαρακτηρίζεται από το διάνυσμα θέσης

{\displaystyle \vec k = \begin{bmatrix} k_x \\ k_y \\ k_z \\ \omega \\ \end{bmatrix}}

Χρήση Μετασχηματισμού Fourier[]

There are several common conventions for defining the Fourier transform $\hat f$ of an integrable function $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb C$ (Kaiser, 1994), (Rahman, 2011).

This article will use the following definition:

\phi(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- 2\pi i x \omega}\,dx,

for any real number ξ.

When the independent variable x represents time (with SI unit of seconds), the transform variable ξ represents frequency (in hertz). Under suitable conditions, $f$ is determined by $\hat f$ via the inverse transform:

f(x) = \int_{-\infty}^\infty \phi (\omega)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\omega,

for any real number x.

The functions $f$ and $\phi$ often are referred to as a Fourier integral pair or Fourier transform pair.

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \ \tilde{f} (k) e^{ikx} \ dk \ ;

Relation between space and reciprocal space[]

The momentum representation of a wave function is very closely related to the Fourier transform and the concept of frequency domain. Since a quantum mechanical particle has a frequency proportional to the momentum (de Broglie's equation given above), describing the particle as a sum of its momentum components is equivalent to describing it as a sum of frequency components (i.e. a Fourier transform).^[1] This becomes clear when we ask ourselves how we can transform from one representation to another.

Functions and operators in position space[]

Suppose we have a three-dimensional wave function in position space $\psi$ (r), then we can write this functions as a weighted sum of orthogonal basis functions $\psi$ _j(r):

\psi(\mathbf{r})=\sum_j \phi_j \psi_j(\mathbf{r})

or, in the continuous case, as an integral

\psi(\mathbf{r})=\int_{\mathbf{k}{\rm-space}} \phi(\mathbf{k}) \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) {\rm d}^3\mathbf{k}

It is clear that if we specify the set of functions $\psi$ _j(r), say as the set of eigenfunctions of the momentum operator, the function $\phi$ (k) holds all the information necessary to reconstruct $\psi$ (r) and is therefore an alternative description for the state $\psi$ .

In quantum mechanics, the momentum operator is given by

\mathbf{\hat p} = -i \hbar\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}}

(see matrix calculus for the denominator notation) with appropriate domain. The eigenfunctions are

\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} e^{i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}

and eigenvalues ħk. So

\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} \int_{\mathbf{k}{\rm-space}} \phi(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} {\rm d}^3\mathbf{k}

and we see that the momentum representation is related to the position representation by a Fourier transform.^[2]

Functions and operators in momentum space[]

Conversely, a three-dimensional wave function in momentum space $\phi$ (k) as a weighted sum of orthogonal basis functions $\phi$ _j(k):

\phi(\mathbf{k})=\sum_j \psi_j \phi_j(\mathbf{k})

or as an integral:

\phi(\mathbf{k})=\int_{\mathbf{r}{\rm-space}} \psi(\mathbf{r}) \phi_{\mathbf{r}}(\mathbf{k}) {\rm d}^3\mathbf{r}

the position operator is given by

\mathbf{\hat r} = i \hbar\frac{\partial}{\partial \bold p} = i\frac{\partial}{\partial \mathbf{k}}

with eigenfunctions

\phi_{\mathbf{r}}(\mathbf{k})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} e^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}

and eigenvalues r. So a similar decomposition of $\phi$ (k) can be made in terms of the eigenfunctions of this operator, which turns out to be the inverse Fourier transform:^[2]

\phi(\mathbf{k})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} \int_{\mathbf{r}{\rm-space}} \psi(\mathbf{r}) e^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} {\rm d}^3\mathbf{r}

Unitary equivalence between position and momentum operator[]

The r and p operators are unitarily equivalent, with the unitary operator being given explicitly by the Fourier transform. Thus they have the same spectrum. In physical language, p acting on momentum space wave functions is the same as r acting on position space wave functions (under the image of the Fourier transform).

Phase Integral[]

In classical statistical mechanics (continuous energies)
the concept of phase space provides a classical analog to the partition function (sum over states) known as the phase integral.

Instead of summing the Boltzmann factor over discretely spaced energy states
(defined by appropriate integer quantum numbers for each degree of freedom)
one may integrate over continuous phase space.

Such integration essentially consists of two parts:
1) integration of the momentum component of all degrees of freedom (momentum space) and
2) integration of the position component of all degrees of freedom (configuration space).

Once the phase integral is known,
it may be related to the classical partition function by multiplication of a normalization constant
representing the number of quantum energy states per unit phase space.

This normalization constant is simply the inverse of Planck's constant
raised to a power equal to the number of degrees of freedom for the system.

Υποσημειώσεις[]

↑ Abers, E. (2004). Quantum Mechanics. Addison Wesley, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.
↑ ^2,0 ^2,1 R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1.

Εσωτερική Αρθρογραφία[]

Βιβλιογραφία[]

Ιστογραφία[]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

[1] Abers, E. (2004). Quantum Mechanics. Addison Wesley, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.

[Penrose-2] 2,0 ^2,1 R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1.

[1]

[2]