Χωροχρονική Μητραϊκή Αναπαράσταση Β

Χωροχρονική Μητραϊκή Αναπαράστασις

Matrix Representation

Χωρόχρονος Σύμπαν

- Μία Μαθηματική Αναπαράσταση.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Μητραϊκή" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Μήτρα".

Η ονομασία "Χωροχρονική" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Χωρόχρονος".

1η Τριάδα Χώρων

3D-Ευκλείδειος Χώρος

Α) Η Θέση (position) ενός σημείου του Χώρου αυτού, περιγράφεται από ένα Διάνυσμα Θέσης (ή Μετατόπιση) (displacement) που ενσωματώνει, διαμέσου ενός συστήματος συντεταγμένων, ως συνιστώσες, όλες τις διαστάσεις του.

Ακριβέστερα αυτό είναι:

α) ένα 3-διάστατο (3D) ανταλλοίωτο (contravariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (3x1) Μήτρα-στήλη

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Brown}{x}\\\color {Brown}{y}\\\color {Brown}{z}\end{bmatrix}}$

ή ισοδύναμα το δυικό του, δηλαδή:

β) ένα 3-διάστατο (3D) συναλλοίωτο (covariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (1x3) Μήτρα-σειρά

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Brown}{x}&\color {Brown}{y}&\color {Brown}{z}\end{bmatrix}}$

Β) Η Συμμετρία του Χώρου αυτού, περιγράφεται από έναν Απειροστικό Μετασχηματισμό που διασυνδέει μεταξύ τους, ανά δύο, όλα τα σημείου του.

Ακριβέστερα, εκφράζεται από την Χωρική Στροφή (Space Rotation) που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (3x3) αντισυμμετρική μήτρα:

${\mathcal {R}}({\color {Red}{\theta }})={\begin{bmatrix}0&\color {Red}{+\theta _{z}}&\color {Red}{-\theta _{y}}\\\color {Red}{-\theta _{z}}&0&\color {Red}{+\theta _{x}}\\\color {Red}{+\theta _{y}}&\color {Red}{-\theta _{z}}&0\end{bmatrix}}$

4D-Χρόνος Minkowski

Α) Η Θέση (position) ενός "σημείου" (δηλ. χρονικής στιγμής) του "Χώρου" αυτού, περιγράφεται από ένα Διάνυσμα Θέσης (ή Μετατόπιση) (displacement) που ενσωματώνει, διαμέσου ενός συστήματος συντεταγμένων, ως συνιστώσες, όλες τις διαστάσεις του.

Ακριβέστερα αυτό είναι:

α) ένα 4-διάστατο (4D) ανταλλοίωτο (contravariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (4x1) Μήτρα-στήλη

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Brown}{0}\\\color {Brown}{0}\\\color {Brown}{0}\\\color {Green}{-t}\end{bmatrix}}$

ή ισοδύναμα το δυικό του, δηλαδή:

β) ένα 4-διάστατο (4D) συναλλοίωτο (covariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (1x4) Μήτρα-σειρά

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Brown}{0}&\color {Brown}{0}&\color {Brown}{0}&\color {Green}{+t}\end{bmatrix}}$

Β) Η Συμμετρία (symmetry) του "Χώρου" αυτού, περιγράφεται από έναν Απειροστικό Μετασχηματισμό που διασυνδέει μεταξύ τους, ανά δύο, όλα τα σημείου του.

Ακριβέστερα, εκφράζεται από την Χρονική Προώθηση (Time Boost) που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (4x4) αντισυμμετρική μήτρα:

${\mathcal {R}}({\color {Blue}{\phi }})={\begin{bmatrix}0&\color {Red}{0}&\color {Red}{0}&\color {Blue}{+\phi _{x}}\\\color {Red}{0}&0&\color {Red}{0}&\color {Blue}{+\phi _{y}}\\\color {Red}{0}&\color {Red}{0}&0&\color {Blue}{+\phi _{z}}\\\color {Blue}{-\phi _{x}}&\color {Blue}{-\phi _{y}}&\color {Blue}{-\phi _{z}}&0\end{bmatrix}}$

4D-Χωρόχρονος Minkowski

Α) Η Θέση (potision) ενός σημείου (ή "γεγονότος") του Χώρου αυτού, περιγράφεται από ένα Διάνυσμα Θέσης (ή Μετατόπιση) (displacement) που ενσωματώνει, διαμέσου ενός συστήματος συντεταγμένων, ως συνιστώσες, όλες τις διαστάσεις του.

Ακριβέστερα αυτό είναι:

α) ένα 4-διάστατο (4D) ανταλλοίωτο (contravariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (4x1) Μήτρα-στήλη

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Red}{+x}\\\color {Red}{+y}\\\color {Red}{+z}\\\color {Blue}{-t}\\\end{bmatrix}}$

ή ισοδύναμα το δυικό του, δηλαδή:

β) ένα 4-διάστατο (4D) συναλλοίωτο (covariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (1x4) Μήτρα-σειρά

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Red}{+x}&\color {Red}{+y}&\color {Red}{+z}&\color {Blue}{+t}\end{bmatrix}}$

Β) Η Συμμετρία του Χώρου αυτού, περιγράφεται από έναν Απειροστικό Μετασχηματισμό που διασυνδέει μεταξύ τους, ανά δύο, όλα τα σημείου του.

Ακριβέστερα, εκφράζεται από την Χωροχρονική Στροφή (Spacetime Rotation) που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (4x4) αντισυμμετρική μήτρα:

${\mathcal {R}}({\color {Red}{\theta }},{\color {Blue}{\phi }})={\begin{bmatrix}0&\color {Red}{+\theta _{z}}&\color {Red}{-\theta _{y}}&\color {Blue}{+\phi _{x}}\\\color {Red}{-\theta _{z}}&0&\color {Red}{+\theta _{x}}&\color {Blue}{+\phi _{y}}\\\color {Red}{+\theta _{y}}&\color {Red}{-\theta _{z}}&0&\color {Blue}{+\phi _{z}}\\\color {Blue}{-\phi _{x}}&\color {Blue}{-\phi _{x}}&\color {Blue}{-\phi _{x}}&0\end{bmatrix}}$

2η Τριάδα Χώρων

4D-Κενός Χώρος (Null Space)

Α) Η Θέση (position) ενός σημείου του Χώρου αυτού, περιγράφεται από ένα Διάνυσμα Θέσης (ή Μετατόπιση) (displacement) που ενσωματώνει, διαμέσου ενός συστήματος συντεταγμένων, ως συνιστώσες, όλες τις διαστάσεις του.

Ακριβέστερα αυτό είναι:

α) ένα 4-διάστατο (4D) ανταλλοίωτο (contravariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (4x1) Μήτρα-στήλη

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}0\\\color {Brown}{+x}\\\color {Brown}{+y}\\\color {Brown}{+z}\end{bmatrix}}$

ή ισοδύναμα το δυικό του, δηλαδή:

β) ένα 4-διάστατο (4D) συναλλοίωτο (covariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (1x4) Μήτρα-σειρά

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}0&\color {Brown}{-x}&\color {Brown}{-y}&\color {Brown}{-z}\end{bmatrix}}$

Β) Η Συμμετρία του Χώρου αυτού, περιγράφεται από έναν Απειροστικό Μετασχηματισμό που διασυνδέει μεταξύ τους, ανά δύο, όλα τα σημείου του.

Ακριβέστερα, εκφράζεται από την Χωρική Αντιστροφή (Spacetime inversion) που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (4x4) αντισυμμετρική μήτρα:

${\mathcal {R}}({\color {Magenta}{l}})={\begin{bmatrix}0&\color {Magenta}{-l_{x}}&\color {Magenta}{-l_{y}}&\color {Magenta}{-l_{z}}\\\color {Magenta}{+l_{x}}&0&\color {Red}{0}&\color {Red}{0}\\\color {Magenta}{+l_{x}}&\color {Red}{0}&0&\color {Red}{0}\\\color {Magenta}{+l_{x}}&\color {Red}{0}&\color {Red}{0}&0\end{bmatrix}}$

5D-Κενός Χρόνος

Α) Η Θέση (potision) ενός "σημείου" (δηλ. χρονικής στιγμής) του "Χώρου" αυτού, περιγράφεται από ένα Διάνυσμα Θέσης (ή Μετατόπιση) (displacement) που ενσωματώνει, διαμέσου ενός συστήματος συντεταγμένων, ως συνιστώσες, όλες τις διαστάσεις του.

Ακριβέστερα αυτό είναι:

α) ένα 5-διάστατο (5D) ανταλλοίωτο (contravariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (5x1) Μήτρα-στήλη

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Magenta}{0}\\\color {Red}{0}\\\color {Red}{0}\\\color {Red}{0}\\\color {Blue}{-t}\end{bmatrix}}$

ή ισοδύναμα το δυικό του, δηλαδή:

β) ένα 5-διάστατο (5D) συναλλοίωτο (covariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (1x5) Μήτρα-σειρά

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Magenta}{0}&\color {Red}{0}&\color {Red}{0}&\color {Red}{0}&\color {Blue}{+t}\end{bmatrix}}$

Β) Η Συμμετρία (symmetry) του "Χώρου" αυτού, περιγράφεται από έναν Απειροστικό Μετασχηματισμό που διασυνδέει μεταξύ τους, ανά δύο, όλα τα σημείου του.

Ακριβέστερα, εκφράζεται από την Χρονική Αναστροφή (Time Reversal) που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (5x5) αντισυμμετρική μήτρα:

${\mathcal {R}}({\color {Cyan}{l_{t}}})={\begin{bmatrix}0&\color {Magenta}{0}&\color {Magenta}{0}&\color {Magenta}{0}&\color {Cyan}{+l_{t}}\\\color {Magenta}{0}&0&\color {Red}{0}&\color {Red}{0}&\color {Blue}{0}\\\color {Magenta}{0}&\color {Red}{0}&0&\color {Red}{0}&\color {Blue}{0}\\\color {Magenta}{0}&\color {Red}{0}&\color {Red}{0}&0&\color {Blue}{0}\\\color {Cyan}{-l_{t}}&\color {Blue}{0}&\color {Blue}{0}&\color {Blue}{0}&0\end{bmatrix}}$

5D-Κενός Χωρόχρονος

Α) Η Θέση (potision) ενός σημείου του Χώρου αυτού, περιγράφεται από ένα Διάνυσμα Θέσης (ή Μετατόπιση) (displacement) που ενσωματώνει, διαμέσου ενός συστήματος συντεταγμένων, ως συνιστώσες, όλες τις διαστάσεις του.

Ακριβέστερα αυτό είναι:

α) ένα 5-διάστατο (5D) ανταλλοίωτο (contravariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (5x1) Μήτρα-στήλη

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Magenta}{0}\\\color {Red}{+x}\\\color {Red}{+y}\\\color {Red}{+z}\\\color {Blue}{-t}\\\end{bmatrix}}$

ή ισοδύναμα το δυικό του, δηλαδή:

β) ένα 5-διάστατο (5D) συναλλοίωτο (covariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (1x5) Μήτρα-σειρά

$\vec{r} = \begin{bmatrix} \color{Magenta}{0} & \color{Red}{-x} & \color{Red}{-y} & \color{Red}{-z} & \color{Blue}{+t} \end{bmatrix}$

Β) Η Συμμετρία του Χώρου αυτού, περιγράφεται από έναν Απειροστικό Μετασχηματισμό που διασυνδέει μεταξύ τους, ανά δύο, όλα τα σημείου του.

Ακριβέστερα, εκφράζεται από την Χωροχρονική Αντιστροφή (Spacetime inversion) που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (5x5) αντισυμμετρική μήτρα:

${\mathcal {R}}({\color {Magenta}{l}},{\color {Cyan}{l_{t}}})={\begin{bmatrix}0&\color {Magenta}{-l_{x}}&\color {Magenta}{-l_{y}}&\color {Magenta}{-l_{z}}&\color {Cyan}{+l_{t}}\\\color {Magenta}{+l_{x}}&0&\color {Red}{0}&\color {Red}{0}&\color {Blue}{0}\\\color {Magenta}{+l_{y}}&\color {Red}{0}&0&\color {Red}{0}&\color {Blue}{0}\\\color {Magenta}{+l_{z}}&\color {Red}{0}&\color {Red}{0}&0&\color {Blue}{0}\\\color {Cyan}{-l_{t}}&\color {Blue}{0}&\color {Blue}{0}&\color {Blue}{0}&0\end{bmatrix}}$

3η Τριάδα χώρων

Χώρος de Sitter

Α) Η Θέση (potision) ενός σημείου του Χώρου αυτού, περιγράφεται από ένα Διάνυσμα Θέσης (ή Μετατόπιση) (displacement) που ενσωματώνει, διαμέσου ενός συστήματος συντεταγμένων, ως συνιστώσες, όλες τις διαστάσεις του.

Ακριβέστερα αυτό είναι:

α) ένα 4-διάστατο (3D) ανταλλοίωτο (contravariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (4x1) Μήτρα-στήλη

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\ 0\\\color {Brown}{+x}\\\color {Brown}{+y}\\\color {Brown}{+z}\\\end{bmatrix}}$

ή ισοδύναμα το δυικό του, δηλαδή:

β) ένα 4-διάστατο (4D) συναλλοίωτο (covariant) διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (1x4) Μήτρα-σειρά

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}0&\color {Brown}{-x}&\color {Brown}{-y}&\color {Brown}{-z}\end{bmatrix}}$

Β) Η Συμμετρία του Χώρου αυτού, περιγράφεται από έναν Απειροστικό Μετασχηματισμό που διασυνδέει μεταξύ τους, ανά δύο, όλα τα σημείου του.

Ακριβέστερα, εκφράζεται από την Χωρική Στροφή που αναπαρίσταται από την ακόλουθη (4x4) αντισυμμετρική μήτρα:

${\mathcal {R}}({\color {Red}{\theta }},{\color {Blue}{\phi }},{\color {Magenta}{l}})={\begin{bmatrix}0&\color {Magenta}{-l_{x}}&\color {Magenta}{-l_{y}}&\color {Magenta}{-l_{z}}\\\color {Magenta}{+l_{x}}&0&\color {Red}{+\theta _{z}}&\color {Red}{-\theta _{y}}\\\color {Magenta}{+l_{y}}&\color {Red}{-\theta _{z}}&0&\color {Red}{+\theta _{x}}\\\color {Magenta}{+l_{z}}&\color {Red}{+\theta _{y}}&\color {Red}{-\theta _{z}}&0\\\end{bmatrix}}$

Χρόνος de Sitter

Α) Η Θέση ενός σημείου του Χώρου αυτού, που ενσωματώνει όλες τις διαστάσεις του, περιγράφεται από:

α) ένα 3-διάστατο (3D) ανταλλοίωτο διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη 3x1 Μήτρα-στήλη

Η μήτρα του απειροστικού μετασχηματισμού περιστροφής είναι:

${\mathcal {R}}({\color {Red}{\theta }},{\color {Blue}{\phi }},{\color {Magenta}{l}},{\color {Cyan}{l_{t}}})={\begin{bmatrix}0&\color {Magenta}{-l_{x}}&\color {Magenta}{-l_{y}}&\color {Magenta}{-l_{z}}&\color {Cyan}{+l_{t}}\\\color {Magenta}{+l_{x}}&0&\color {Red}{+\theta _{z}}&\color {Red}{-\theta _{y}}&\color {Blue}{+\phi _{x}}\\\color {Magenta}{+l_{y}}&\color {Red}{-\theta _{z}}&0&\color {Red}{+\theta _{x}}&\color {Blue}{+\phi _{y}}\\\color {Magenta}{+l_{z}}&\color {Red}{+\theta _{y}}&\color {Red}{-\theta _{z}}&0&\color {Blue}{+\phi _{z}}\\\color {Cyan}{-l_{t}}&\color {Blue}{-\phi _{x}}&\color {Blue}{-\phi _{x}}&\color {Blue}{-\phi _{x}}&0\end{bmatrix}}$

Χωρόχρονος anti de Sitter

Α) Η Θέση ενός σημείου του Χώρου αυτού, που ενσωματώνει όλες τις διαστάσεις του, περιγράφεται από:

α) ένα 3-διάστατο (3D) ανταλλοίωτο διάνυσμα που αναπαρίσταται από την ακόλουθη 3x1 Μήτρα-στήλη

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Magenta}{0}\\\color {Brown}{+x}\\\color {Brown}{+y}\\\color {Brown}{+z}\\\color {Green}{-t}\\\end{bmatrix}}$

Η μήτρα του απειροστικού μετασχηματισμού περιστροφής είναι:

${\mathcal {R}}({\color {Red}{\theta }},{\color {Blue}{\phi }},{\color {Magenta}{l}},{\color {Cyan}{l_{t}}})={\begin{bmatrix}0&\color {Magenta}{-l_{x}}&\color {Magenta}{-l_{y}}&\color {Magenta}{-l_{z}}&\color {Cyan}{+l_{t}}\\\color {Magenta}{+l_{x}}&0&\color {Red}{+\theta _{z}}&\color {Red}{-\theta _{y}}&\color {Blue}{+\phi _{x}}\\\color {Magenta}{+l_{y}}&\color {Red}{-\theta _{z}}&0&\color {Red}{+\theta _{x}}&\color {Blue}{+\phi _{y}}\\\color {Magenta}{+l_{z}}&\color {Red}{+\theta _{y}}&\color {Red}{-\theta _{z}}&0&\color {Blue}{+\phi _{z}}\\\color {Cyan}{-l_{t}}&\color {Blue}{-\phi _{x}}&\color {Blue}{-\phi _{x}}&\color {Blue}{-\phi _{x}}&0\end{bmatrix}}$

Φασικός Χώρος

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Brown}{v_{x}}\\\color {Brown}{v_{y}}\\\color {Brown}{v_{z}}\end{bmatrix}}$

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Brown}{P_{x}}\\\color {Brown}{P_{y}}\\\color {Brown}{P_{z}}\end{bmatrix}}$

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Green}{E}\\\color {Brown}{P_{x}}\\\color {Brown}{P_{y}}\\\color {Brown}{P_{z}}\\\end{bmatrix}}$

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Green}{\omega }\\\color {Brown}{k_{x}}\\\color {Brown}{k_{y}}\\\color {Brown}{k_{z}}\\\end{bmatrix}}$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Ομαδιαία Αναπαράσταση
• Μαθηματική Αναπαράσταση
• Χωροχρονική Μητραϊκή Αναπαράσταση Α

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---