Χώρος Hilbert

Χώρος Hilbert

Hilbert Space

Χώρος Hilbert
Χώρος Banach
Τοπολογικός Χώρος
Διανυσματικός Χώρος

Κυματοσυνάρτηση
Χώρος Hilbert

Σπινώδης Στροφορμή
Χώρος Hilbert

Χώρος Hilbert
Χώρος Lebesgue

Χώρος Hilbert
Χώρος Banach
Εσωγινόμενος Χώρος
Διανυσματικός Χώρος

Χώρος Hilbert
Χώρος Banach
Εσωγινόμενος Χώρος
Διανυσματικός Χώρος

Χώρος Hilbert (διακριτός)

Χώρος Hilbert (συνεχής)

Χώρος Hilbert Χωροπληρωσιακή Καμπύλη

Χώρος Hilbert Χωροπληρωσιακή Καμπύλη

Μαθηματικά
Γεωμετρία
Γραμμική Άλγεβρα

---

Γεωμετρικός Χώρος
Ευκλείδειος Χώρος
Χώρος Minkowski
Χώρος Riemann
Χώρος Lobachevsky

---

Μαθηματικός Χώρος
Τοπολογικός Χώρος
Διανυσματικός Χώρος
Μετρικός Χώρος
Χώρος Hilbert

Ελλειπτικός Χώρος
Ευκλείδειος Χώρος
Υπερβολικός Χώρος

Ελλειπτικός Χώρος
Ευκλείδειος Χώρος
Υπερβολικός Χώρος

7D-Χώρος

Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός
Χώρος Hilbert
Χώρος Lebesgue

Τετραγωνικά Ολοκληρώσιμη Συνάρτηση
Εσωτερικό Γινόμενο
Χώρος Hilbert
Μαθηματική Ανάλυση
Γραμμική Άλγεβρα

Ισομορφισμός
Τετραγωνικά Ολοκληρώσιμη Συνάρτηση
Χώρος Hilbert

- Ένας Μαθηματικός Χώρος.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Χώρος Hilbert" σχετίζεται ετυμολογικά με την όνομα "Hilbert".

Εισαγωγή

Ως Χώρος Hilbert $(\mathcal {H})$ ονομάζεται ο χώρος των συναρτήσεων που χρησιμοποιείται στην Κβαντική Μηχανική.

Η έννοια του Χώρου αυτού είναι καθαρά μαθηματική. Το πιο απλό παράδειγμα χώρου είναι ο τρισδιάστατος Ευκλείδιος Χώρος ℝ³, ο οποίος χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλά προβλήματα της Φυσικής.

Σε αντίθεση με τον χώρο ℝ³, o χώρος Hilbert είναι απείρων διαστάσεων.

Μαθηματικά, ο χώρος Hilbert ορίζεται ως ένας Διανυσματικός Χώρος ο οποίος είναι εφοδιασμένος με Εσωτερικό Γινόμενο και είναι πλήρης ως προς τη στάθμη (norm) που ορίζεται από το εσωτερικό γινόμενο.

H ουσιώδης διαφορά του χώρου Hilbert από τους απλούς διανυσματικούς χώρους έγκειται στο ότι αυτός κατοικείται από συναρτήσεις αντί για διανύσματα. Δηλαδή η βάση του Χώρου και τα στοιχεία του αποτελούνται από συναρτήσεις.

O Χώρος Hilbert μπορεί να είναι πραγματικός ή μιγαδικός.

Σύγκριση με 2D-Ευκλείδειο Χώρο

Σύγκριση 2D-Ευκλείδειου Χώρου και Χώρου Hilbert
α/α	Αντικείμενο	2D-Ευκλείδειος Χώρος	Χώρος Hilbert	Σχολιασμός
1.	Διάσταση	$2$	$\infty$
2.	Διάνυσμα	$\vec{x}$	$\psi$
3.	Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός	$\vec{x}$	$\psi$
4.	Βάση	$\langle e_m | e_n\rangle = \delta_{mn}$	$\langle\psi_m | \psi_n\rangle = \delta_{mn}$
5.	Πληρότητα	$A = a_{ij} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$	$\psi$
6.	Συνιστώσες	$\vec{x}$	$\psi$
7.	Τελεστής	Μήτρα $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$	Χαμιλτονιανή $-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 }{d x^2}$
8.	Χαρακτηριστική Εξίσωση	$A \vec x = \lambda \vec x$	$H\psi = E\psi$
9.	Ιδιοτιμές	$\lambda_1 = 1$ $\lambda_2 = -1$	$E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m l^2} n^2$
10.	Ιδιοδιανύσματα	$x_1 = \frac{1} {\sqrt2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ $x_2 = \frac{1} {\sqrt2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$	$\psi_n (x) = \sqrt \frac{2} {l} \sin{\frac {n \pi x}{l}}$

Πίνακας Αντιστοιχίας

Σύγκριση Κλασσικού Κόσμου & Κβαντικού Κόσμου
1.	Φύση	Κλασσικό Σωματίδιο ---- Τροχιά	Κβαντικό Σωματίδιο ---- Κβαντική Κατάσταση
2.	Φυσική	Θέση (x)	Κυματοσυνάρτηση (ψ(x))
3.	Γεωμετρία	Σημείο του τρισ-διάστατου Γεωμετρικού Ευκλείδειου Χώρου	Σημείο του ν-διάστατου (Γεωμετρικού) Χώρου Hilbert
4.	Άλγεβρα	Στοιχείο (δηλ. τριάδα συναρτήσεων) του τρισ-διάστατου Αλγεβρικού Ευκλείδειου Χώρου	Στοιχείο (δηλ. νιάδα συναρτήσεων) του ν-διάστατου (Αλγεβρικού) Χώρου Lebesgue

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Χώρος Lebesgue
• Διανυσματικός Χώρος
• Εσωτερικό Γινόμενο
• Χώρος Hausdorff

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• colorado.edu
• Hilbert Spaces and Their Relatives
• Quantum Mechanics, Tobias Brandes

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---