Κινηματική

Κινηματική

Kinematics

Φυσική

---

Φυσικοί Γης Νόμοι Φυσικής Νόμοι Φυσικής Θεωρίες Φυσικής Πειράματα Φυσικής Παράδοξα Φυσικής

Κινηματική Επίπεδη Κίνηση Μοναδιαίο Διάνυσμα

Κινηματική Κίνηση

Κινηματική Ταχύτητα

Απόσταση Μετατόπιση

Κινηματική Συνάντηση

- Ένας Επιστημονικός Κλάδος της Κλασσικής Φυσικής.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Κινηματική" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "κίνηση".

Εισαγωγή

Η Κινηματική είναι κλάδος της Κλασσικής Μηχανικής που περιγράφει την κίνηση των σωμάτων χωρίς την συμμετοχή τηςμάζα τους και τις αιτίες, Επιδράσεις, που προκαλούν την κίνησή τους, σε αντιθέση, με τη Κλασσική Δυναμική.

Η Κινηματική είναι ουσιαστικά η "Γεωμετρία" της κίνησης. Υπάρχουν όμως και διαδικασίες μη συμπεριλαμβανόμενες σε αυτήν άμεσα όπως η κίνηση *των ηλεκτρονίων,

• των πλανητών,
• των ηλεκτρικά φορτισμένων σωμάτων,
• των μορίων των αερίων που προκαλούν πίεση κ.λπ.

Φυσικά Μεγέθη

Η θέση μετράται σε σχέση με ένα σύστημα συντεταγμένων. Ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του σώματος. Επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας.

Η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι δύο βασικές ποσότητες που περιγράφουν πως μεταβάλλεται η θέση ενός σώματος.

Η πιο απλή εφαρμογή της Κινηματικής είναι η μελέτη της μεταφορικής κίνησης των σημειακών σωμάτων (Γραμμική Κινηματική).

Η περιγραφή της περιστροφής (Περιστροφική Κινηματική) είναι πιο πολύπλοκη. Η περιγραφή της κίνησης ενός στερεού σώματος γίνεται χρησιμοποιώντας τόσο την Γραμμική όσο και την Περιστροφική κινηματική (Κινηματική του στερεού σώματος).

Μια περιπλοκότερη περίπτωση είναι η μελέτη της κίνησης ενός συστήματος σωμάτων, πιθανώς ενωμένα μεταξύ τους με μηχανικούς δεσμούς. Η περιγραφή της κίνησης της ρευστών, που είναι περισσότερο περίπλοκη, δεν περιγράφεται μέσα στο πλαίσιο της Κινηματικής, αλλά αποτελεί κύριο αντικείμενο μελέτης της Υδροδυναμικής.

Μεταφορική Κίνηση

Γραμμική (ή μεταφορική) Κινηματική είναι η περιγραφή της κίνησης στον χώρο ενός σημείου και της τροχιάς του (που μπορεί να είναι ευθύγραμμη ή καμπυλόγραμμη) και περιλαμβάνει τον ορισμο και τη χρήση των εξής τριών ποσοτήτων:

(Γραμμική) θέση

(Γραμμική) ταχύτητα

(Γραμμική) επιτάχυνση

Σχετική Κίνηση

Για να περιγράψουμε την κίνηση ενός αντικειμένου Α σε σχέση με ένα αντικείμενο Ο, όταν είναι γνωστό το κάθε ένα πως κινείται σε σχέση με ένα αντικείμενο Β, χρησιμοποιούμε την εξής εξίσωση που περιλαμβάνει διανύσματα και πρόσθεση διανυσμάτων:

$\vec{r_{A/O}} = \vec{r_{B/O}} + \vec{r_{A/B}} \,\!$

Η παραπάνω εξίσωση σχετικής κίνησης δηλώνει ότι η κίνηση του Α σχετικά με το Ο είναι ίση με την κίνηση του Β σχετικά με το O συν την κίνηση του Α σχετικά με το Β.

Για παράδειγμα, έστω ότι η Άννα κινείται με ταχύτητα $\vec{V_{A}}$ και ο Βασίλης κινείται με ταχύτητα $\vec{V_{B}}$, με την κάθε ταχύτητα να δίνεται σχετικά με το έδαφος. Για να βρούμε πόσο γρήγορα κινείται η Άννα σε σχέση με τον Βασιλή (αυτή την ονομάζουμε ταχύτητα $\vec{V_{A/B}}$), η πάνω εξίσωση δίνει:

$\vec{V_{A}} = \vec{V_{B}} + \vec{V_{A/B}} \,\! .$

Για να υπολογίσουμε το $\vec{V_{A/B}}$ απλώς απομονώνουμε τον άγνωστο και η παραπάνω εξίσωση δίνει:

$\vec{V_{A/B}} = \vec{V_{A}} -\vec{V_{B}} \,\! .$

Με ταχύτητες συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός, χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις σχετικής κίνησης που βρίσκονται στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein και όχι με τις παραπάνω εξισώσεις σχετικής κίνησης.

Oμαλά Eπιταχυνόμενη Kίνηση

Ένα αντικείμενο που κινείται ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση έχει σταθερή επιτάχυνση. Η κίνησή του μπορεί να περιγραφεί με τέσσερεις απλές αλγεβρικές εξισώσεις:

$\,x_f - x_i = v_i t + \frac{1}{2} at^2 \qquad x_f - x_i = \frac{1}{2} (v_f + v_i)t$ $\,v_f = v_i + a t \qquad v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)$

όπου: v_i και v_f είναι η αρχική και τελική ταχύτητα αντίστοιχα, x_i and x_f είναι η αρχική και η τελική θέση αντίστοιχα σε σχέση με έναν άξονα αναφοράς, a είναι η σταθερή επιτάχυνση, και t είναι το χρονικό διάστημα που πέρασε για να φθάσει το αντικείμενο απ'την αρχική στη τελική θέση.

Κατακόρυφη Βολή

Ας θεωρήσουμε ένα αντικείμενο που βάλλεται ευθύγραμμα προς τα πάνω και επαναπίπτει στο έδαφος έτσι ώστε η τροχιά του να είναι ευθεία γραμμή. Αν θεωρήσουμε την πάνω κατεύθυνση ως τον θετικό άξονα, το σώμα δέχεται μια σταθερή επιτάχυνση με αλγεβρική τιμή περίπου -9.81 m/s². Γι' αυτό η κίνησή του μπορεί να περιγραφεί με τις εξισώσεις τις ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης.

Υπάρχουν αρκετές ενδιαφέρουσες ερωτήσεις που θα μπορούσαμε να κάνουμε για την κίνηση του σωματιδίου: Πόσο θα βρίσκεται στον αέρα; Σε τι ύψος θα φτάσει πριν αρχίσει να πέφτει; Ποια θα είναι η τελική του ταχύτητα όταν φτάσει στο έδαφος; Για το συγκεκριμένο παράδειγμα ας θεωρήσουμε ότι η αρχικη ταχύτητα του σωματιδίου είναι +50 m/s.

Πόσο θα βρίσκεται στον αέρα;

Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση χρησιμοποιούμε τον τύπο:

$x_f - x_i = v_i t + \frac{1}{2} at^2.$

Εφόσον η ερώτηση αναφέρεται στο χρονικό διάστημα μεταξύ της εκτόξευσής του και της επαναφοράς του στο το έδαφος, η μετατόπισή του είναι μηδέν.

$0 = v_i t + \frac{1}{2} at^2 = t(v_i + \frac{1}{2} at)$

Βρίσκουμε δύο λύσεις για το t. Η μία είναι ότι το χρονικό διάστημα είναι μηδέν. Αυτό είναι επίσης σωστό, καθώς την πρώτη χρονική στιγμή που το σώμα βρίσκεται στο έδαφος είναι τη χρονική στιγμή μηδέν: όταν αρχίζει να κινείται. Η απάντηση όμως που είναι δεκτή είναι

$t = -\frac{2v_i}{a} = -\frac{2*50}{-9.81} = 10.2 \ s$

Μέγιστο Ύψος

Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι το σώμα έχει ταχύτητα μηδέν στο απόγειο της τροχιάς του. Για αυτό η εξίσωση που θα χρησιμοποιήσουμε είναι:

$v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)$

Αν η αρχή του συστήματος συντεταγμένων μας είναι το έδαφος, τότε το $x_i$ είναι μηδέν. Οπότε λύνουμε ως προς $x_f$ και αντικαθιστούμε τις γνωστές τιμές:

$x_f = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2 a} + x_i = \frac{0-50^2}{2*-9.81}+0 = 127.55 \ m$

Τελική Ταχύτητα

Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι το σώμα έχει αρχική ταχύτητα μηδέν στο απόγειο της κίνησής του πριν αρχίσει να πέφτει. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση που χρησιμοποιήσαμε πριν, χρησιμοποιώντας την τιμή 127.55 m για το $x_i$.

$v_f = \sqrt{v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)} = \sqrt{0^2 + 2 (-9.81) (0 - 127.55)} = 50\ m/s$

Βλέπουμε ότι η τελική και αρχική ταχύτητα είναι ίδιες, κάτι βέβαια που συμφωνεί και με την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας.

Πλάγια Βολή

Ας υποθέσουμε ότι ένα βλήμα βάλλεται υπό γωνία $\theta$ απ'το έδαφος και όχι κάθετα. Το σώμα θα ακολουθήσει τότε παραβολική τροχιά, και η οριζόντια κίνησή του μπορεί να μελετηθεί ανεξάρτητα από την κάθετη κίνησή του (Αρχή Επαλληλίας).

Εξίσωση της τροχιάς

Εξίσωση της τροχιάς ονομάζεται μία σχέση y = f(x) (y η κατακόρυφη μετατόπιση και x η οριζόντια μετατόπιση), δηλαδή μία σχέση όπου δεν υπάρχει η μεταβλητή του χρόνου και η μετατόπιση στον ένα άξονα μπορεί να υπολογιστεί με μοναδικό δεδομένο τη μετατόπιση στον άλλο άξονα. Για να προκύψει η εξίσωση της τροχιάς πρέπει να γίνει απαλοιφή του χρόνου στις εξισώσεις της κινηματικής.

Για τον οριζόντιο άξονα έχουμε:

$x=v_i \cos \theta \ t \Leftrightarrow \ t={x \over v_i \cos \theta }$

Για τον κατακόρυφο άξονα έχουμε (στον κατακόρυφο άξονα δεν υπάρχει αρχική ταχύτητα):

$y={1 \over 2} at^2$

Κάνοντας αντικατάσταση του t απ'την πρώτη εξίσωση έχουμε:

$y={1 \over 2} a({x \over v_i \cos \theta})^2$

δηλαδή εξίσωση της μορφής $y=\kappa x^2$, που είναι εξίσωση παραβολής.

Βεληνεκές

Βεληνεκές ονομάζουμε την απόσταση που θα διανύσει πριν πέσει στο έδαφος. Για τις ανάγκες του παραδείγματος υποθέτουμε ότι το αντικείμενο βάλλεται με αρχική ταχύτητα 50 m/s και υπό γωνία 30 μοιρών απ'τον ορίζοντα. Το αντικείμενο δέχεται την επιτάχυνση της βαρύτητας με τιμή -9.81 m/s² στην κάθετη διεύθυνση και καθόλου επιτάχυνση στην οριζόντια διεύθυνση. Γι' αυτό, η οριζόντια μετατόπισή του είναι

$\Delta x = x_f - x_i = v_i \cos \theta \ t + \frac{1}{2} at^2 = v_i \cos \theta \ t$, όπως προκύπτει απ'την ανάλυση της ταχύτητας σε δύο συνιστώσες παράλληλες η κάθε μία στον οριζόντιο και τον κάθετο άξονα.

Για να λύσουμε την εξίσωση, πρέπει να βρούμε το t. Αυτό θα γίνει αναλύοντας την κίνηση στην κάθετη κατεύθυνση. Αν υποθέσουμε ότι η κάθετη μετατόπιση είναι μηδέν, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ίδια διαδικασία που χρησιμοποιήσαμε και στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση για να βρούμε το t.

$0 = v_i \sin \theta \ t + \frac{1}{2} at^2 = t(v_i \sin \theta + \frac{1}{2} at)$

Τώρα λύνουμε ως προς t και αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση στο αρχικό τύπο για την οριζόντια μετατόπιση. (Χρησιμοποιούμε την Τριγωνομετρική Ταυτότητα $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$)

$\Delta x = v_i \cos \theta \left(\frac{-2 v_i \sin \theta}{a}\right) = -\frac{v_i^2 \sin 2\theta}{a} = 220.70 \ m$

Κυκλική Κίνηση

Περιστροφική Κινηματική είναι η περιγραφή της περιστροφής ενός αντικειμένου και περιέχει τον ορισμό και την χρήση των εξής τριών ποσοτήτων:

Γωνιακή θέση: Αν ένα διάνυσμα οριστεί ως η προσανατολισμένη απόστασή του απ'τον άξονα περιστροφής (τον οποίο θεωρούμε σημείο αναφοράς) ενός σημειακού σημείου, η γωνιακή θέση αυτού του σημείου είναι η προσανατολισμένη γωνία θ από έναν άξονα αναφοράς (π.χ. τον θετικό ημιάξονα των x) αυτού του σημείου. Μια προσανατολισμένη γωνία είναι η γωνία που διαγράφηκε από έναν εκλεγμένο άξονα περιστροφής και κατά μία εκλεγμένη φορά περιστροφής ως θετική. Στην κινηματική των δύο διαστάσεων (όπως στην περιγραφή των πλανητών), ο άξονας περιστροφής είναι συνήθως το σημείο αναφοράς και αναπαρίσταται με το σημείο περιστροφής (ή κέντρο της κίνησης), και η φορά περιστροφής αναπαρίσταται με το πρόσημο της γωνίας (παραδεχόμαστε ότι το θετικό πρόσημο σημαίνει αριστερόστροφη φορά περιστροφής). Η γωνιακή μετατόπιση μπορεί να θεωρηθεί ως η σχετική θέση μεταξύ δύο σημείων και χρησιμοποιείται για την περιγραφή της κίνησης. Αποτελεί την προσανατολισμένη γωνία που διαγράφηκε απ'το παραπάνω σημείο (ή διάνυσμα) από μια γωνιακή θέση σε μια άλλη.

Γωνιακή Ταχύτητα: Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας $\vec{\omega}$ είναι ο ρυθμός με τον οποίο η γωνιακή θέση $\theta$ αλλάζει σε σχέση με τον χρόνο t:

$\mathbf{\omega} = \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$

Γωνιακή Επιτάχυνση: Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης $\vec{\alpha}$ είναι ο ρυθμός με τον οποίο η γωνιακή ταχύτητα $\vec{\omega}$ αλλάζει σε σχέση με τον χρόνο t:

$\mathbf{\alpha} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}t}$

Οι εξισώσεις της γραμμικής κινηματικής μπορούν να επεκταθούν και για την περιστροφική κινηματική με αλλάγή των αντίστοιχων μεταβλητών:

$\,\!\theta_f - \theta_i = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \qquad \theta_f - \theta_i = \frac{1}{2} (\omega_f + \omega_i)t$ $\,\!\omega_f = \omega_i + \alpha t \qquad \alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} \qquad \omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha (\theta_f - \theta_i)$

.

Εδώ το $\,\!\theta_i$ και το $\,\!\theta_f$ είναι αντίστοιχα η αρχική και η τελική γωνιακή θέση, $\,\!\omega_i$ και $\,\!\omega_f$ είναι αντίστοιχα η αρχική και η τελική γωνιακή ταχύτητα, και $\,\!\alpha$ είναι η σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Αν και η θέση στον χώρο και η ταχύτητα στο χώρο είναι διανύσματα, όπως βέβαια είναι και η γωνιακή ταχύτητα, η γωνία δεν είναι διάνυσμα.

Συστήματα Συντεταγμένων

Σε κάθε περίπτωση κινησης, το χρησιμότερο σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται απ' τις συνθήκες υπό τις οποίες γίνεται η κίνηση ή απ' τη γεωμερική φύση της δύναμης που προκαλεί ή επηρεάζει την κίνηση. Συνεπώς για να περιγράψουμε την κίνηση μιας χάντρας που είναι περιορισμένη να κινείται σε ένα στεφάνι, η πιο χρήσιμη συντεταγμένη θα είναι η γωνία που σχηματίζει αναφορικά με το κέντρο του στεφανιού. Παρομοίως, για να περιγράψουμε την κίνηση ενός σωματιδίου που κάνει κυκλική κίνηση λόγω της επίδρασης μιας κεντρομόλου δύναμης, το πιο χρήσιμο σύστημα συντεταγμένων είναι οι πολικές συντεταγμένες.

Ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων

Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων τα διανύσματα εκφράζονται ως άθροισμα συντεταγμένων στους x, y και z άξονες και τα σώματα που μελετάμε δεν περιστρέφονται. Συνήθως i είναι το Μοναδιαίο Διάνυσμα στον άξονα των x, j το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των y, και k το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των z.

Το διάνυσμα θέσης, s (ή r), το διάνυσμα της ταχύτητας, v, και το διάνυσμα της επιτάχυνσης, a εκφράζονται με την χρήση ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων ως εξής:

$\vec s = x \vec i + y \vec j + z \vec k \, \!$

$\vec v = \dot {s} = \dot {x} \vec {i} + \dot {y} \vec {j} + \dot {z} \vec {k} \, \!$

$\vec a = \ddot {s} = \ddot {x} \vec {i} + \ddot {y} \vec {j} + \ddot {z} \vec {k} \, \!$

Σημείωση: $\dot {x} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ , $\ddot {x} = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$

Περιστροφικό σύστημα αναφοράς δύο διαστάσεων

Αυτό το σύστημα αναφοράς περιγράφει μόνο την κυκλική κίνηση.

Αυτό το σύστημα συντεταγμένων βασίζεται σε τρία κάθετα μοναδιαία διανύσματα:

• το διάνυσμα i και
• το διάνυσμα j που σχηματίζουν ένα επίπεδο στο οποίο κείται το κινούμενο σώμα, και
• το διάνυσμα k γύρω από το οποίο λαμβάνει χώρα η περιστροφή.

Σε αντίθεση με τις ορθοκανονικές συντεταγμένες, που μελετάμε ένα σημείο που δεν περιστρέφεται, το αντικείμενο μελέτης μπορεί περιστρέφεται και να μεταφέρεται.

Παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων

Τα διανύσματα θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης ενός δεδομένου σημείου μπορούν να εκφρασθούν χρησιμοποιώντας αυτό το Σύστημα Αναφοράς, αλλά πρέπει να είμαστε λίγο πιο προσεκτικοί στη μελέτη μας από ότι στις ορθοκανονικές συντεταγμένες. Εφόσον το σημείο μέλετης περιστρέφεται, πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας τις παραγώγους των μοναδιαίων διανυσμάτων όταν παραγωγίζουμε οποιοδήποτε απ' αυτά τα διανύσματα.

Αν η αρχή του συστήματος περιστρέφεται με ρυθμό $\omega$ αριστερόστροφα (αυτό σημαίνει $\omega$k χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού) τότε οι παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι οι εξής:

$\dot{\vec i} = \omega \vec k \times \vec i = \omega \vec j$

$\dot{\vec j} = \omega \vec k \times \vec j = - \omega \vec i$

Θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση

Χρησιμοποιώντας αυτές τις παραπάνω σχέσεις, μπορούμε να μελετήσουμε τα διανύσματα θέσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός σωματιδίου χρησιμοποιώντας αυτό το πλαίσιο αναφοράς.

Θέση

Η θέση είναι:

$\vec s = x \vec j$

Δηλαδη απέχει την απόσταση του από την αρχή και στην κατεύθυνση που απέχει από κάθενα απ'τα διανύσματα θέσης.

Ταχύτητα

Η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης ως προς τον χρόνο:

$\vec v = \frac{\mathrm{d}\vec s}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d} (x \vec i)}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d} (y \vec j)}{\mathrm{d}t}$

Σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσσίδας, αυτό είναι:

$\vec v = \dot x \vec i + x \dot{\vec i} + \dot y \vec j + y \dot{\vec j}$

Που απ'τους παραπάνω τύπους αυτό γίνεται:

$\vec v = \dot x \vec i + x \omega \vec j + \dot y \vec j - y \omega \vec i = (\dot x - y \omega) \vec i + (\dot y + x \omega) \vec j$

ή ισοδύναμα

$\vec v = (\dot x \vec i + \dot y \vec j) + (y \dot{\vec j} + x \dot{\vec i}) = \vec v_{rel} + \vec \omega \times \vec r$

όπου $\vec v_{rel}$ είναι η ταχύτητα του σωματιδίου σε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων.

Επιτάχυνση

Επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας.

Γνωρίζουμε ότι:

$\vec a = \frac{\mathrm{d} \vec v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d} \vec v_{rel}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d} (\vec \omega \times \vec r)}{\mathrm{d}t}$

Ας εξετάσουμε το μέρος $\frac{\mathrm{d} \vec v_{rel}}{\mathrm{d}t}$. Το $\vec v_{rel}$ έχει δύο μέρη των οποίων θέλουμε να βρούμε την παράγωγο: την σχετική αλλαγή στην ταχύτητα ($\vec a_{rel}$), και την αλλαγή σε αναφορά με το σύστημα συντεταγμένων ($\omega \times \vec v_{rel}$).

$\frac{\mathrm{d} \vec v_{rel}}{\mathrm{d}t} = \vec a_{rel} + \omega \times \vec v_{rel}$

Στη συνέχεια ας εξετάσουμμε το $\frac{\mathrm{d} (\vec \omega \times \vec r)}{\mathrm{d}t}$. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας:

$\frac{\mathrm{d} (\vec \omega \times \vec r)}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec \omega} \times \vec r + \vec \omega \times \dot{\vec r}$

$\dot{\vec r}$ ξέρουμε απο τα παραπάνω:

$\frac{\mathrm{d} (\vec \omega \times \vec r)}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec \omega} \times \vec r + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r) + \vec \omega \times \vec v_{rel}$

Οπότε τελικά έχουμε:

$\vec a = \vec a_{rel} + \omega \times \vec v_{rel} + \dot{\vec \omega} \times \vec r + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r) + \vec \omega \times \vec v_{rel}$

Και συμπτύσσοντας τους όρους:

$\vec a = \vec a_{rel} + 2(\omega \times \vec v_{rel}) + \dot{\vec \omega} \times \vec r + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r)$

Συνθήκες Κινηματικής

Μια συνθήκη κινηματικής είναι μια οποιαδήποτε κατάσταση που αφορά τις ιδιότητες ενός δυναμικού συστήματος που ισχύει καθ'όλη τη διάρκεια της μελέτης μας. Παρακάτω είναι μερικά κοινά παραδείγματα:

Κύλιση χωρίς Ολίσθηση

Ένα αντικείμενο που κυλίεται σε μια επιφάνεια χωρίς να ολισθαίνει προϋποθέτει ότι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του ισούται με το Εξωτερικό Γινόμενο της γωνιακής του ταχύτητας με ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο επαφής και πέρας το κέντρο μάζας :

$v_G(t) = \omega \times r_{G/O} \,\!$

Για την περίπτωση που δεν υπερπηδά εμπόδια ή δεν γυρίζει πίσω, αυτό απλοποιείται σε v = R ω .

Μη εκτατό νήμα

Αυτή είναι η περίπτωση όπου σώματα συνδέονται μεταξύ τους με ένα νήμα που παραμένει τεντωμένο και δεν μπορεί να αλλάξει μήκος (μη εκτατό, μη ελαστικό νήμα). Η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται είναι ότι το άθροισμα όλων των μερών του νήματος, όπως και αν ορίζονται, είναι το συνολικό μήκος, και ο ρυθμός μεταβολής του μήκους του νήματος σε σχέση με τον χρόνο είναι μηδέν.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Κίνηση
• Κλασσική Φυσική
• Εξισώσεις Κίνησης
• Στατική, Δυναμική
• Κλασσική Στατική, Κλασσική Δυναμική

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---