Mεταθετικό Διάγραμμα

Μεταθετικόν Διάγραμμα

Commutative diagram

Ομάδα Lorentz

Τύπος Euler

---

In the language of topology (topological inteprentation),
Euler's formula states that
the imaginary exponential function t ↦ e^it
is a (surjective) morphism of topological groups from the real line ℝ to the unit circle $\mathbb{S}$¹.
In fact, this exhibits ℝ as a covering space of $\mathbb S^{1}$.
---
Similarly, Euler's identity says that
the kernel of this map is τℤ,
where τ = 2π.
These observations
may be combined and summarized
in this commutative diagram

- Ένα Μαθηματικό Διάγραμμα

Ετυμολογία

Η ονομασία "μεταθετικό" σχετίζεται ετυμολογικά με την [[λέξη] "μεταθετικότητα".

Εισαγωγή

In mathematics, and especially in category theory, a commutative diagram is a diagram of objects (also known as vertices) and morphisms (also known as arrows or edges) such that all directed paths in the diagram with the same start and endpoints lead to the same result by composition.

Commutative diagrams play the role in category theory that equations play in algebra (see Barr-Wells, Section 1.7).

Note that a diagram may not be commutative, i.e., the composition of different paths in the diagram may not give the same result. For clarification, phrases like "this commutative diagram" or "the diagram commutes" may be used.

Examples

In the bottom-left diagram, which expresses the first isomorphism theorem, commutativity means that $f = \tilde{f} \circ \pi$ while in the bottom-right diagram, commutativity of the square means $h \circ f = k \circ g$:

Αρχείο:First isomorphism theorem (plain).svg

Αρχείο:Commutative square.svg

For the diagram below to commute, we must have the three equalities: (1) $\; r \circ h \circ g = H \circ G \circ l, \;$ (2) $\; m \circ g = G \circ l, \;$ and (3) $\; r \circ h = H \circ m$. Since the first equality follows from the last two, for the diagram to commute it suffices to show (2) and (3). However, since equality (3) does not generally follow from the other two equalities, for this diagram to commute it is generally not enough to only have equalities (1) and (2).

Αρχείο:CommutativeDiagramExample.png

Symbols

In algebra texts, the type of morphism can be denoted with different arrow usages: monomorphisms with a $\hookrightarrow$, epimorphisms with a $\twoheadrightarrow$, and isomorphisms with a $\overset{\sim}{\rightarrow}$. The dashed arrow typically represents the claim that the indicated morphism exists whenever the rest of the diagram holds; the arrow may optionally be labeled $\exists$. If the dashed arrow is labeled $!$ or $\exists!$, the morphism is furthermore unique. These conventions are common enough that texts often do not explain the meanings of the different types of arrow.

Verifying commutativity

Commutativity makes sense for a polygon of any finite number of sides (including just 1 or 2), and a diagram is commutative if every polygonal subdiagram is commutative.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Ταυτότητα Euler
• Μαθηματική Ταυτότητα
• Εξίσωση

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---