Ρ-адическое число

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

p-ади́ческое число (произносится: пэ-адическое) — элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, которая определяется на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р.

Пусть p – произвольное простое число, а $k$ – произвольное целое. Определим функцию $\mathrm{ord}_{p}k$ как кратность вхождения числа p в разложение $k$ на простые множители.

Свойства

Свойство А

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ord}_{p}(k_1⋅k_2) = \mathrm{ord}_{p} (k_1) + \mathrm{ord}_{p} (k_2)}

Свойство B

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ord}_{p} [(p^N!)]=1+p+p2+…+p^{N - 1}}

Свойство C

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ord}_{p} [(kp^N!)]=k(1+p+p2+…+p^{N - 1})} , k−целое, $0\leq k\leq p - 1$

Свойство D

Если Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle n=a_0+a_1 p+…+a_s p^s} есть p-ичное разложение натурального числа $n$, Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle 0\leq a_i \leq p−1} и $S_n=\sum_{}a_i$, то: $\mathrm{ord}_{p} (n!)=(n - Sn)/(p - 1)$

Доказательство свойств

Свойство А

Пусть Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle k_1=x⋅p^\alpha} и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle x/p ∉ ℕ} , тогда $\mathrm{ord}_{p} k_1=\alpha$
И пусть Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle k_2=y⋅p^\beta} и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle y/p ∉ ℕ} , тогда $\mathrm{ord}_{p} k_2=\beta$
Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle k_1⋅k_2=x⋅y⋅p^{(\alpha+\beta)}} , причем Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle (x⋅y)/p ∉ ℕ} , тогда Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle ord_p (k_1⋅k_2) = \alpha+\beta = ord_p k_1+ord_p k_2}

Свойство B

Лемма

$\mathrm{ord}_{p} (a+b)= min (\mathrm{ord}_{p} (a), \mathrm{ord}_{p} (b))$, если Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle a+b ≠ p^\gamma, \gamma > \mathrm{ord}_{p} (a), \gamma > \mathrm{ord}_{p} (b)}

Доказательство

Пусть $\mathrm{ord}_{p} (a)=\alpha, \mathrm{ord}_{p} (b)=\beta$ и $\alpha < \beta$ → Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle a+b = p^\alpha (r+mp^{\beta−\alpha})}
Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ord}_{p} (a+b)=\mathrm{ord}_{p} (p^\alpha (r+mp^{\beta−\alpha}))=\mathrm{ord}_{p} p^\alpha + \mathrm{ord}_{p} (r+mp^(\beta−\alpha))=\alpha+\mathrm{ord}_{p} (r+mp^{\beta−\alpha})}
Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ord}_{p} (r+mp^{\beta−\alpha})=0 т.к. (r+mp^{\beta−\alpha})≠p^\gamma} , и оно не кратно p.
Таким образом, $\mathrm{ord}_{p} (a+b)=\alpha$

Индукция

1) Пусть $N = 1$

$\mathrm{ord}_{p} (p!)= \mathrm{ord}_{p} (1 * 2 * ... * p) = \mathrm{ord}_{p}1 + \mathrm{ord}_{p}2 + ... + \mathrm{ord}_{p} p = 1$ — выполняется

2 ) Пусть для N=k верно, Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ord}_{p} ((p^k)!)= 1 + p + p^2 + ... + p^{k−1}} Докажем для $k+1$: Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ord}_{p} ((p^{k + 1})!) = 1 + p + p^2 + ... + p^{k−1} + \mathrm{ord}_{p} ((p^k + 1)(p^k + 2)...(p^{k + 1} - 1)p^{k + 1})}
Необходимо доказать, что последнее слагаемое равно $p^k$ $\mathrm{ord}_{p} ((p^k + 1)(p^k + 2)...(p^{k + 1} - 1)p^{k + 1}) = \mathrm{ord}_{p} ((p^k + 1)(p^k + 2)...2p^k (2p^k + 1)(2p^k + 2)...3p^k...((p - 1)p^k + 1)((p - 1)p^k + 2)...((p - 1)p^k + p^k) =$ (используем (а) и Лемму) $= \mathrm{ord}_{p} 1 + \mathrm{ord}_{p} 2 + ... + \mathrm{ord}_{p} p^k + \mathrm{ord}_{p} 1 + \mathrm{ord}_{p} 2 + ... + \mathrm{ord}_{p} p^k + ... + \mathrm{ord}_{p} 1 + \mathrm{ord}_{p} 2 + ... + \mathrm{ord}_{p} p^({k + 1} - 1) + \mathrm{ord}_{p} p^{k + 1} =$ $= \mathrm{ord}_{p} 1 + \mathrm{ord}_{p} 2 + ... + \mathrm{ord}_{p} p^k + \mathrm{ord}_{p} 1 + \mathrm{ord}_{p} 2 + ... + \mathrm{ord}_{p} p^k + ... + \mathrm{ord}_{p} 1 + \mathrm{ord}_{p} 2 + ... + \mathrm{ord}_{p} p^({k + 1} - 1) + \mathrm{ord}_{p} p^k + \mathrm{ord}_{p} p =$ $= (p-1)\mathrm{ord}_{p} ((p^k)!) + \mathrm{ord}_{p} p =$ (сумма геометрической прогрессии) $= p^k - 1 + 1 = p^k$

Свойство C

Доказательство по индукции :

1) Пусть $k = 1$, тогда Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ord}_{p} ((p^N)!) = 1 + p + p^2 + ... + p^{N−1}} — верно по доказанному в Свойстве B

2) Пусть верно для $k=n$, проверим для $k=n+1$ Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ord}_{p} [(kp^N)!] = n(1 + p + p^2 + ... + p^{N−1}) + \mathrm{ord}_{p}((np^N + 1)(np^N + 2)...(np^N + p^N))}
Надо доказать, что последнее слагаемое равно Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle (1 + p + p^2 + ... + p^{N−1})}
$\mathrm{ord}_{p}((np^N + 1)(np^N + 2)...(np^N + p^N)) =$ (используя Свойство A и лемму, зная что Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle n \leq p−1} ) Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle = \mathrm{ord}_{p} 1 + \mathrm{ord}_{p} 2 + ... + \mathrm{ord}_{p} (p^N)= \mathrm{ord}_{p} ((p^N)!) = 1 + p + p^2 + ... + p^{N−1}}

Свойство D

Доказательство поиндукции:

1) Пусть $n=1$, тогда $a_0=1, n=a_0 , S_n=1$ $\mathrm{ord}_{p} (n!) = \frac{n - S_n}{p - 1} = 0$ — верно.

2) Пусть верно для $n=k$ , т.е. выполняется $\mathrm{ord}_{p} (k!) = \frac{k - S_k}{p - 1}$
Проверим для $k+1$: $\mathrm{ord}_{p} ((k + 1)!) = \mathrm{ord}_{p} (k!) + \mathrm{ord}_{p} (k + 1) = \frac{k - S_k}{p - 1} + \mathrm{ord}_{p} (k + 1)$

$k=a_0 + a_1 p + ... + a_s p^s$ , тогда $k + 1=a_0 + 1 + a_1 p + ... + a_s p^s$

Существуют два случая. Рассмотрим их :

a) $a_0 + 1 < p$ Очевидно, что $\mathrm{ord}_{p} (k + 1) = 0$ (из этого выражения нельзя вынести p), $S_{k+1}=S_k + 1$
Преобразуем:
$\mathrm{ord}_{p} ((k + 1)!) = \mathrm{ord}_{p} (k!) + \mathrm{ord}_{p} (k + 1) = \mathrm{ord}_{p} (k!) = \frac{k - S_k}{p - 1} = \frac{(k+1) - (S_k + 1)}{p - 1}$

б) $a_0 + 1 = p$ Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle a_0 = p−1} $k + 1=(a_1 + 1)p + a_2 p^2 + ... + a_s p^s$ $S_{k+1} = S_k - (p - 1) + 1$ вычитаем $a_0$ и добавляем 1 $S_{k+1} = S_k - p + 2$ $\mathrm{ord}_{p} ((k+1)!) = \mathrm{ord}_{p} (k!) + \mathrm{ord}_{p} (k+1) = \frac{k - S_k}{p - 1} + 1 = \frac{(k+1) - (S_k - p + 2)}{p - 1}$

В случае, если $a_1 + 1 = p$ и далее, доказательство аналогично.

См.также

• Свойства нормы

Ссылки

• Р-адические числа на Википедии