Наука
Advertisement

Аксиомы теории множеств — системы аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, положенные в основу аксиоматической теории множеств — раздела математической логики, изучающего теорию множеств; исходящего из развивавшейся Г.Кантором в конце XIX в. «наивной» теории множеств; представляющего собой построение теории множеств аксиоматическим методом.

Современная теория множеств строится на системе аксиом, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной для теории множеств. К ней часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) . Существуют и другие системы аксиом. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gödel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов.

Аксиомы ZFC

1. Аксиома объёмности. Два множества и равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы.

2. Аксиома пустого множества. Существует множество без единого элемента. Это множество обычно обозначается или .

3. Аксиома пары. Для любых множеств и существует множество такое, что и являются его единственными элементами. Множество обозначается и называется неупорядоченной парой и . Если , то состоит из одного элемента.

4. Аксиома объединения. Для любого семейства множеств существует множество , называемое объединением множества , состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества .

5. Аксиома бесконечности. Аксиомы с 1 по 4 предоставляют ограниченные возможности для формирования новых множеств. Так, по теореме Кантора во множестве имеется элемент, не принадлежащий , поэтому, например, не существует «множества всех множеств» (парадокс Рассела). Далее введём определение: множество называется индуктивным, если оно а) содержит пустое множество и б) содержит последователь (то есть элемент ) каждого своего элемента. Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.

6. Схема выделения. Любому множеству и свойству отвечает множество , элементами которого являются те и только те элементы , которые обладают свойством . Схема выделения содержит счётное количество аксиом, так как каждая формула логики первого порядка порождает аксиому.

7. Аксиома множества подмножеств. Для любого множества существует множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества . Множество подмножеств множества обозначается .

Если ввести отношение подмножества , то эту формулу можно упростить.

8. Схема подстановки. Пусть - такая формула, что при любом из множества существует, и притом единственный, объект такой, что выражение истинно. Тогда объекты , для каждого из которых существует из такой, что истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула порождает аксиому.

9. Аксиома основания. Каждое непустое множество содержит элемент такой, что .

10. Аксиома выбора. Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует множество , имеющее один и только один общий элемент с каждым их множеств , принадлежащих .

См.также

Advertisement