Алгебра событий

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий $\Omega$, элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

• алгебра конечных подмножеств $\Omega$;
• сигма-алгебра счётных подмножеств $\Omega$;
• алгебра подмножеств ${\mathbb{R}}^n$, образованная конечными объединениями интервалов;
• сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства $\Omega$, то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества $\Omega$;
• алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности $\mathbf{P}$. Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

Достоверное и невозможное события

Если $\mathbf{P} (x)=0$, то событие $x \subseteq \Omega$ называется невозможным событием; если $\mathbf{P}(x)=1$, то событие $x \subseteq \Omega$ называется достоверным событием;

Литература

• Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., 1974.

См.также

• Алгебра
• Аксиоматика Колмогорова
• Элементарное событие
• Событие (в теории вероятностей)
• Вероятностное пространство