Родился в Саратове9 февраля1915 года. Его родители были рабочими. Детские и юношеские годы будущего актёра прошли на станции Аткарск Саратовской губернии. После окончания семи классов школы Борис Андреев стал работать слесарем-электормонтёром на комбайновом заводе в Саратове. Уже тогда он начал ходить в заводской драмкружок. Заметивший его успехи знаменитый Саратовский актёр И. А. Слонов предложил ему поступить в Саратовский театральный техникум, который Борис Андреев успешно окончил в 1937 году.
Некоторое время Борис Андреев играл на сцене Саратовского драматического театра. Театр поехал на гастроли, в Москву, там Андреева и заметил кинорежиссёр Иван Пырьев. Вскоре, в 1939 году, на широкий экран вышел первый фильм с его участием — «Трактористы», где актёр выступил достойно и не затерялся среди уже известных артистов.
Во время съёмок фильмов «Трактористы» и «Истребители» Борис Андреев приобрел двух очень близких друзей — Петра Алейникова и Николая Крючкова. Впоследствии в кругу киноактёров он называл эту компанию святой троицей.
Следующей была роль Харитона Балуна в «Большой жизни» (1-я серия — 1939 г., 2-я — 1958 г.).
В роли Ильи Журбина («Большая семья», 1954) проявилось умение актёра воплощать психологически глубокие характеры. Проникнуто эмоциональной насыщенностью исполнение Андреевым ролей Баукина в «Жестокости» (1959), Росомахи в «Пути к причалу» (1962). Крупнейшей работой артиста в кино стал Вожак в фильме «Оптимистическая трагедия» (1963).
В 1971—1973 года Борис Андреев снялся в ролях и прокомментировал текст в документальных фильмах: «Народный артист Андреев», «Народный артист Касымов», «Народный артист Шукур Бурханов».
