Биномиальная модель оценки стоимость американского опциона

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Предположения

Перед началом построения биномиальной модели сделаем некоторые предположения. Оценка стоимости опциона будет проводится для рынка на котором не выплачиваются дивиденды и так же мы будем использовать принцип риск-нейтрального мира(т.е. процентная ставка Перед началом построения биномиальной модели сделаем некоторые предположения. Оценка стоимости опциона будет проводится для рынка на котором не выплачиваются дивиденды и так же мы будем использовать принцип риск-нейтрального мира(т.е. процентная ставка $r$ остается неизменной на протяжении рассматриваемого временного интервала).

Построение модели

Биномиальная модель используется для американского опциона, так как позволяет учесть возможность раннего исполнения. Для оценки стоимости опциона с помощью биномиальной модели предположим, что в небольшой временной интервал $\Delta t$ цена может измениться лишь в двух направления, в $u$($u > 1$) раз если цена будет расти и в $d$($d<1$) раз а противном случае, как показано на Рис.1

Файл:Звено биноминального дерева.jpg

Рис. 1. Звено биномиального дерева

От значения $S$ к значению $Su$ цена движется с вероятностью $p$, а к значению $Sd$ с вероятностью $1-p$. Далее определим параметры $p$, $u$ и $d$, используемые в модели. Они должны давать верное значение изменения стоимости базового инструмента за малый промежуток времени $\Delta t$. Учитывая сделанные предположения, математическое ожидание стоимости базового актива в конце временного интервала $\Delta t$ будет равным

$S^{e\Delta t}=pSu+(1-p)Sd(2.1)$

или

$e\Delta t=p+(1-p)(2.2)$

Дисперсия стоимости базового актива равна $S^{2}\sigma ^{2}\Delta t$. Если дисперсия случайной величины $Q$ равна $E(Q^{2})-(E(Q))^{2}$, где $E$ есть математическое ожидание, то получаем следующие равенства

$S^{2}\sigma ^{2}\Delta t=pS^{2}u^{2}+(1-p)S^{2}d^{2}-S^{2}[pu+(1-p)d]^{2}(2.3)$

или

$\sigma ^{2}\Delta t=pu^{2}+(1-p)d^{2}-[pu+(1-p)d]^{2}(2.4)$

Равенства (2.2) и (2.4) задают два условия на $p$, $u$ и $d$, третьим условием обычно берется равенство $u={\frac {1}{d}}(2.5)$ Из (2.2), (2.4) и (2.5) получаем

$p={\frac {a-d}{u-d}}(2.6)$ $u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta t}}}(2.7)$ $d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t}}}(2.8)$

где

$a=e^{r\Delta t}$

для малых $\Delta t$ Законченное биномиальное дерево представлено на Рис. 2.

Файл:Биноминальное дерево.jpg

Рис. 2. Законченное биномиальное дерево

Формулы для расчета стоимости опциона

В нулевой момент времени известна стоимость базового инструменты $S$. В момент времени $\Delta t$ существуют две возможные стоимость $Su$ и $Sd$, в момент времени $2\Delta t$ - $Su^{2}$, $S$ и $Sd^{2}$ и т.д. В общем случае в момент времени $i\Delta t$ известно $i+1$ стоимость базового инструмента равные

$Su^{j}d^{i-j},j=0,1,\dots ,i(2.9)$

Стоит отметить, что равенство стоимости базового инструмента в узлах, находящихся на одной горизонтальной линии вытекает из равенства $u=frac{1}{d}$, что позволяет значительно уменьшить количество узлов. Предположим, что время до даты исполнения американского опциона пут разбито на $N$ частей длинной $\Delta t$. Обозначим за $f_{ij}$ стоимость опциона в момент времени $i\Delta t$ с ценой базового инструмента равной $Su^{j}d^{i-j}$,где $0\leq i\leq N$, $0\leq j\leq i$. Стоимость американского опциона в день исполнения равна ${max}(X-S_{T},0)$, следовательно

$f_{Nj}={max}[X-Su^{j}d{N-j},0],j=0,1,\dots ,N(2.10)$

Из узла $(i,j)$ с вероятность $p$ цена базового актива перейдет в узел $(i+1,j+1)$ и с вероятностью $1-p$ в узел $(i+1,j)$, тогда, предполагая что опцион не был исполнен до этого времени и учитывая принцип риск-нейтралности получаем

$f_{ij}=e^{-r\Delta t}[pf_{i+1,j+1}+(1-p)f_{i+1,j}](2.11)$

для $0\leq i\leq N-1$ и $0\leq j\leq i$. Если же брать во внимание возможность раннего исполнения опциона, то значение $f_{ij}$ нужно сравнивать с внутренней стоимостью опциона. Учитывая это получаем

$f_{ij}={max}\{X-Su^{j}d^{i-j},e^{-r\Delta t}[pf_{i+1,j+1}+(1-p)f_{i+1,j}]\}(2.12)$

В биномиальной модели так же можно учесть и выплату дивидендов. Если предположить, что известен размер выплаты дивидендов, $\delta$, и дата их выплаты, то в узлах до даты выплаты дивидендов стоимость базового инструмента будет равна

$Su^{j}d^{i-j},j=0,1,\dots ,i$

где $u$ и $d$ параметры определяемые формулами (2.7) и (2.8) соответственно. В узлах дерева после наступления даты выплаты дивидендов стоимость базового инструмента будет равна

$S(1-\Delta )u^{j}d^{i-j},j=0,1,\dots ,i$

Соответствующее биномиальное дерево представлено на Рис. 3.

Файл:Биноминальное дерево с учётом дивидендов.jpg

Рис. 3. Биномиальное дерево с учётом выплаты дивидендов

В соответствии с новыми полученными значениями цены базового инструмента проводится расчет стоимости опциона по формулам (2.10) и (2.12).