Биномиальное многомерное распределение — многомерное дискретное распределение, до сих пор не встречавшееся в теории вероятностей; наиболее подходит на роль многомерного обобщения биномиального распределения в отличие от давно известного в теории вероятностей полиномиального (мультиномиального) распределения ; естественным образом возникло в рамках эвентологического подхода .
Определение [ ] Пусть проводится конечная последовательность из
n
{\displaystyle n}
i
{\displaystyle i}
N
{\displaystyle N}
X
(
i
)
{\displaystyle \mathfrak{X}^{(i)}}
x
(
i
)
∈
X
(
i
)
{\displaystyle x^{(i)} \in \mathfrak{X}^{(i)}}
X
(
i
)
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle \mathfrak{X}^{(i)}, i=1,\ldots,n}
{
p
(
X
)
,
X
⊆
X
}
,
{\displaystyle
\{ p(X), \ X \subseteq \mathfrak{X} \},
}
некоторого
N
{\displaystyle N}
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
x
∈
X
{\displaystyle x \in \mathfrak{X}}
многомерной (эвентологической) схемой испытаний Бернулли с порождающим множеством событий
X
.
{\displaystyle \mathfrak{X}.}
Тогда каждая из случайных величин
ξ
x
(
ω
)
=
∑
i
=
1
n
1
x
(
i
)
(
ω
)
,
x
(
i
)
∈
X
(
i
)
,
x
∈
X
,
{\displaystyle
\xi_x(\omega) = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{x^{(i)}}(\omega), \ \ \ x^{(i)} \in
\mathfrak{X}^{(i)}, \ \ \ x \in \mathfrak{X},
}
подчиняется биномиальному распределению с параметрами
n
,
p
x
=
P
(
x
)
,
{\displaystyle
n, p_x=\mathbf{P}(x),
}
а случайный вектор (в эвентологии, вообще, и в данном контексте, в частности, понятие «вектор» используется в расширенном смысле: как неупорядоченное конечное множество, или неупорядоченный конечный набор неких элементов) :
ξ
^
=
(
ξ
x
,
x
∈
X
)
{\displaystyle
\widehat{\xi} = (\xi_x, \ x \in \mathfrak{X})
}
биномиальному многомерному (
N
{\displaystyle N}
с параметрами
n
,
{
p
(
X
)
,
∅
≠
X
⊆
X
}
.
{\displaystyle
n, \{ p(X), \ \varnothing \not= X \subseteq \mathfrak{X} \}.
}
Вероятности биномиального многомерного распределения определяются для любого целочисленного набора
n
^
=
(
n
x
,
x
∈
X
)
∈
[
0
,
n
]
N
{\displaystyle \widehat{n}=(n_x, \ x \in \mathfrak{X}) \in [0,n]^N}
b
n
^
(
n
;
p
(
X
)
,
∅
≠
X
⊆
X
)
=
P
(
ξ
^
=
n
^
)
=
P
(
ξ
x
=
n
x
,
x
∈
X
)
=
∑
n
ˇ
m
n
ˇ
(
n
;
{
p
(
X
)
,
X
⊆
X
}
)
,
{\displaystyle
b_{\widehat{n}}(n;p(X), \varnothing \not= X \subseteq \mathfrak{X}) = \mathbf{P}(\widehat{\xi}=\widehat{n}) = \mathbf{P}(\xi_x = n_x, \ x \in \mathfrak{X}) = \sum_{\check{n}} m_{\check{n}}(n; \{p(X), X \subseteq \mathfrak{X}\}),
}
где
m
n
ˇ
(
n
;
{
p
(
X
)
,
X
⊆
X
}
)
=
P
(
ξ
ˇ
=
n
ˇ
)
=
{\displaystyle
m_{\check{n}}(n; \{p(X), X \subseteq \mathfrak{X}\}) =
\mathbf{P}(\check{\xi}=\check{n}) =
}
P
(
(
ξ
(
X
)
,
X
⊆
X
)
=
(
n
(
X
)
,
X
⊆
X
)
)
=
n
!
∏
X
⊆
X
n
(
X
)
!
∏
X
⊆
X
[
p
(
X
)
]
n
(
X
)
{\displaystyle
\mathbf{P}\Big((\xi(X), X \subseteq
\mathfrak{X})=(n(X), X \subseteq \mathfrak{X})\big) = \frac{n!}{\prod_{X
\subseteq \mathfrak{X}} n(X)!} \prod_{X \subseteq \mathfrak{X}} [p(X)]^{n(X)}
}
— вероятности
2
N
{\displaystyle 2^N}
ξ
ˇ
=
(
ξ
(
X
)
,
X
⊆
X
)
{\displaystyle \check{\xi}=(\xi(X), \ X \subseteq \mathfrak{X})}
(
n
;
{
p
(
X
)
,
X
⊆
X
}
)
{\displaystyle (n; \{ p(X), \ X \subseteq \mathfrak{X}\})}
2
N
{\displaystyle 2^N}
{
t
e
r
(
X
)
,
X
⊆
X
}
{\displaystyle \Big\{\mathrm{ter}(X), X \subseteq \mathfrak{X} \Big\}}
2
N
{\displaystyle 2^N}
n
ˇ
=
(
n
(
X
)
,
X
⊆
X
)
∈
S
2
N
,
{\displaystyle
\check{n}=(n(X), \ X \subseteq \mathfrak{X}) \in \mathcal{S}^{2^N},
}
из
2
N
{\displaystyle 2^N}
S
2
N
{\displaystyle \mathcal{S}^{2^N}}
n
=
∑
X
⊆
X
n
(
X
)
,
{\displaystyle
n = \sum_{X \subseteq \mathfrak{X}} n(X),
}
для которых выполнены ещё
N
{\displaystyle N}
n
x
=
∑
x
∈
X
n
(
X
)
,
x
∈
X
.
{\displaystyle
n_x = \sum_{x \in X} n(X), \ \ \ x \in \mathfrak{X}.
}
Биномиальное одномерное распределение [ ] При
N
=
1
{\displaystyle N = 1}
порождающее множество
X
=
{
x
}
{\displaystyle \mathfrak{X}=\{x\}}
ξ
x
{\displaystyle \xi_x}
(
n
;
p
x
)
{\displaystyle (n; p_x)}
биномиального одномерного распределения имеют классический вид
b
n
x
(
n
;
p
x
)
=
P
(
ξ
x
=
n
x
)
=
C
n
n
x
p
x
n
x
(
1
−
p
x
)
n
−
n
x
,
0
≤
n
x
≤
n
.
{\displaystyle
b_{n_x}(n;p_x) = \mathbf{P}(\xi_x=n_x) = C_n^{n_x} p_x^{n_x}(1-p_x)^{n-n_x}, \ \ \ 0
\leq n_x \leq n.
}
Биномиальное двумерное распределение [ ] При
N
=
2
{\displaystyle N = 2}
порождающее множество
X
=
{
x
,
y
}
{\displaystyle \mathfrak{X}=\{x,y\}}
биномиальное двумерное распределение случайного вектора
ξ
^
=
(
ξ
x
,
ξ
y
)
=
(
ξ
x
,
x
∈
X
)
{\displaystyle
\widehat{\xi} = (\xi_x, \xi_y) = (\xi_x, x \in \mathfrak{X})
}
определяется четырьмя параметрами
(
n
;
p
(
x
)
,
p
(
y
)
,
p
(
x
y
)
)
{\displaystyle \Big(n; p(x), p(y), p(xy) \Big)}
p
(
x
)
=
P
(
x
∩
y
c
)
,
p
(
y
)
=
P
(
x
c
∩
y
)
,
p
(
x
y
)
=
P
(
x
∩
y
)
.
{\displaystyle
p(x)=\mathbf{P}(x \cap y^c), \ \ \ p(y)=\mathbf{P}(x^c \cap y), \ \ \ p(xy) = \mathbf{P}(x \cap
y).
}
Очевидно, что
p
(
x
)
+
p
(
y
)
+
p
(
x
y
)
=
1
−
p
(
∅
)
{\displaystyle p(x)+p(y)+p(xy)=1-p(\varnothing)}
Вероятности биномиального двумерного распределения вычисляются для любого целочисленного вектора
n
^
=
(
n
x
,
n
y
)
∈
[
0
,
n
]
2
{\displaystyle \widehat{n}=(n_x, n_y) \in [0,n]^2}
b
n
^
(
n
;
p
(
x
)
,
p
(
y
)
,
p
(
x
y
)
)
=
P
(
ξ
^
=
n
^
)
=
{\displaystyle
b_{\widehat{n}}(n;p(x), p(y), p(xy)) = \mathbf{P}(\widehat{\xi}=\widehat{n}) =
}
=
P
(
ξ
x
=
n
x
,
ξ
y
=
n
y
)
=
∑
n
ˇ
m
n
ˇ
(
n
;
p
(
∅
)
,
p
(
x
)
,
p
(
y
)
,
p
(
x
y
)
)
,
{\displaystyle
= \mathbf{P}(\xi_x=n_x, \ \xi_y=n_y) = \sum_{\check{n}} m_{\check{n}}(n; p(\varnothing),p(x),p(y),p(xy)),
}
где
m
n
ˇ
(
n
;
p
(
∅
)
,
p
(
x
)
,
p
(
y
)
,
p
(
x
y
)
)
=
P
(
ξ
ˇ
=
n
ˇ
)
=
{\displaystyle
m_{\check{n}}(n; p(\varnothing),p(x),p(y),p(xy)) = \mathbf{P}(\check{\xi}=\check{n}) =
}
=
P
(
(
ξ
(
∅
)
,
ξ
(
x
)
,
ξ
(
y
)
,
ξ
(
x
y
)
)
=
(
n
(
∅
)
,
n
(
x
)
,
n
(
y
)
,
n
(
x
y
)
)
)
=
{\displaystyle
= \mathbf{P}\Big((\xi(\varnothing),\xi(x),\xi(y),\xi(xy))=(n(\varnothing),n(x),n(y),n(xy))\big) =
}
=
n
!
n
(
∅
)
!
n
(
x
)
!
n
(
y
)
!
n
(
x
y
)
!
[
p
(
∅
)
]
n
(
∅
)
[
p
(
x
)
]
n
(
x
)
[
p
(
y
)
]
n
(
y
)
[
p
(
x
y
)
]
n
(
x
y
)
{\displaystyle
= \frac{n!}{n(\varnothing)! n(x)! n(y)! n(xy)!}
[p(\varnothing)]^{n(\varnothing)}[p(x)]^{n(x)}[p(y)]^{n(y)}[p(xy)]^{n(xy)}
}
— вероятности 4-мерного мультиномиального распределения случайного вектора
ξ
ˇ
=
(
ξ
(
∅
)
,
ξ
(
x
)
,
ξ
(
y
)
,
ξ
(
x
y
)
)
{\displaystyle \check{\xi}=(\xi(\varnothing), \xi(x), \xi(y), \xi(xy))}
(
n
;
p
(
∅
)
,
p
(
x
)
,
p
(
y
)
,
p
(
x
y
)
)
{\displaystyle (n; p(\varnothing),p(x),p(y),p(xy))}
n
ˇ
=
(
n
(
∅
)
,
n
(
x
)
,
n
(
y
)
,
n
(
x
y
)
)
{\displaystyle
{\check{n}} = (n(\varnothing), n(x), n(y), n(xy))
}
таким, что
n
=
n
(
∅
)
+
n
(
x
)
+
n
(
y
)
+
n
(
x
y
)
,
{\displaystyle
n = n(\varnothing)+n(x)+n(y)+n(xy),
}
для которых выполнены ещё
2
{\displaystyle 2}
n
x
=
n
(
x
)
+
n
(
x
,
y
)
,
n
y
=
n
(
y
)
+
n
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle
n_x = n(x)+n(x,y), \ \ \ n_y = n(y)+n(x,y).
}
Поскольку при фиксированных
n
x
{\displaystyle n_x}
n
y
{\displaystyle n_y}
n
(
∅
)
,
n
(
x
)
,
n
(
y
)
,
n
(
x
y
)
{\displaystyle n(\varnothing), n(x), n(y), n(xy)}
n
(
x
y
)
{\displaystyle n(xy)}
n
(
x
)
=
n
x
−
n
(
x
y
)
,
n
(
y
)
=
n
y
−
n
(
x
y
)
,
n
(
∅
)
=
n
−
n
x
−
n
y
+
n
(
x
y
)
,
{\displaystyle
n(x) = n_x-n(xy), \ n(y) = n_y-n(xy), \ n(\varnothing) = n-n_x-n_y+n(xy),
}
то суммирование в формуле для биномиальной двумерной вероятности сводится к сумме по одному этому параметру в пределах так называемых границ Фреше:
max
{
0
,
n
x
+
n
y
−
n
}
≤
n
(
x
y
)
≤
min
{
n
x
,
n
y
}
,
{\displaystyle
\max \{ 0, n_x+n_y-n\} \leq n(xy) \leq \min \{n_x, n_y\},
}
и формула принимает вид:
b
n
^
(
n
;
p
(
x
)
,
p
(
y
)
,
p
(
x
y
)
)
=
P
(
ξ
^
=
n
^
)
=
P
(
ξ
x
=
n
x
,
ξ
y
=
n
y
)
=
{\displaystyle
b_{\widehat{n}}(n;p(x), p(y), p(xy)) = \mathbf{P}(\widehat{\xi}=\widehat{n}) =
\mathbf{P}(\xi_x=n_x, \ \xi_y=n_y) =
}
=
[
p
(
∅
)
]
n
[
τ
(
x
)
]
n
x
[
τ
(
y
)
]
n
y
∑
n
(
x
y
)
=
max
{
0
,
n
x
+
n
y
−
n
}
min
{
n
x
,
n
y
}
B
n
n
(
x
,
y
)
(
n
^
)
[
τ
(
x
,
y
)
]
n
(
x
y
)
.
{\displaystyle
= [p(\varnothing)]^{n} \left[\tau(x)\right]^{n_x}\left[\tau(y)\right]^{n_y}
\sum_{n(xy)=\max \{ 0, n_x+n_y-n\}}^{\min \{n_x, n_y\}} B_{n}^{n(x,y)}(\widehat{n})
\left[\tau(x,y)\right]^{n(xy)}.
}
где
B
n
n
(
x
,
y
)
(
n
^
)
=
n
!
(
n
−
n
x
−
n
y
+
n
(
x
y
)
)
!
(
n
x
−
n
(
x
y
)
)
!
(
n
y
−
n
(
x
y
)
)
!
n
(
x
y
)
!
{\displaystyle
B_{n}^{n(x,y)}(\widehat{n}) = \frac{n!}{(n-n_x-n_y+n(xy))! (n_x-n(xy))! (n_y-n(xy))!
n(xy)!}
}
— так называемый двумерный биномиальный коэффициент , а
τ
(
x
)
=
p
(
x
)
p
(
∅
)
,
τ
(
y
)
=
p
(
y
)
p
(
∅
)
,
τ
(
x
,
y
)
=
p
(
∅
)
p
(
x
y
)
p
(
x
)
p
(
y
)
{\displaystyle
\tau(x) = \frac{p(x)}{p(\varnothing)}, \ \tau(y) = \frac{p(y)}{p(\varnothing)}, \ \tau(x,y) = \frac{p(\varnothing)p(xy)}{p(x)p(y)}
}
— мультковариации первого и второго порядка событий
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
Ниже используются обозначения:
p
x
=
P
(
x
)
=
p
(
x
)
+
p
(
x
y
)
,
p
y
=
P
(
y
)
=
p
(
y
)
+
p
(
x
y
)
,
{\displaystyle p_x = \mathbf{P}(x) = p(x)+p(xy), \ \ \ p_y = \mathbf{P}(y) = p(y)+p(xy),}
K
o
v
x
y
=
p
(
x
y
)
−
p
x
p
y
,
σ
x
2
=
p
x
(
1
−
p
x
)
,
σ
y
2
=
p
y
(
1
−
p
y
)
.
{\displaystyle \mathrm{Kov}_{xy} = p(xy)-p_xp_y, \ \ \ \sigma_x^2=p_x(1-p_x), \ \ \ \sigma_y^2=p_y(1-p_y).}
Вектор математических ожиданий биномиального двумерного случайного вектора
(
ξ
x
,
ξ
y
)
{\displaystyle (\xi_x, \xi_y)}
(
E
ξ
x
,
E
ξ
x
)
=
(
n
p
x
,
n
p
y
)
,
{\displaystyle
(\mathbf{E}\xi_x, \mathbf{E}\xi_x) = (np_x, np_y),
}
а его ковариационная матрица выражается через ковариационную матрицу случайного вектора
(
1
x
,
1
y
)
{\displaystyle (\mathbf{1}_x, \mathbf{1}_y)}
порождающего множества
X
=
{
x
,
y
}
{\displaystyle \mathfrak{X}=\{x,y\}}
(
n
p
x
(
1
−
p
x
)
n
K
o
v
x
y
n
K
o
v
x
y
n
p
y
(
1
−
p
y
)
)
=
n
(
p
x
(
1
−
p
x
)
K
o
v
x
y
K
o
v
x
y
p
y
(
1
−
p
y
)
)
{\displaystyle
\left(
\begin{matrix}
np_x(1-p_x)&n\mathrm{Kov}_{xy}\\
n\mathrm{Kov}_{xy}&np_y(1-p_y)
\end{matrix}
\right)=n\left(
\begin{matrix}
p_x(1-p_x)&\mathrm{Kov}_{xy}\\
\mathrm{Kov}_{xy}&p_y(1-p_y)
\end{matrix}
\right)
}
Ковариационная матрица центрированного и нормированного биномиального двумерного случайного вектора
(
ξ
x
−
n
p
x
σ
x
,
ξ
y
−
n
p
y
σ
y
)
{\displaystyle
\left(\frac{\xi_x-np_x}{\sigma_x}, \frac{\xi_y-np_y}{\sigma_y}\right)
}
выражается через ковариационную матрицу случайного вектора
(
(
1
x
−
p
x
)
/
σ
x
,
(
1
y
−
p
y
)
/
σ
y
)
{\displaystyle
\Big((\mathbf{1}_x-p_x)/\sigma_x, (\mathbf{1}_y-p_y)/\sigma_y \Big)
}
центрированных и нормированных индикаторов событий из
X
=
{
x
,
y
}
{\displaystyle \mathfrak{X}=\{x,y\}}
(
n
n
ρ
x
y
n
ρ
x
y
n
)
=
n
(
1
ρ
x
y
ρ
x
y
1
)
,
{\displaystyle
\left(
\begin{matrix}
n&n\rho_{xy}\\
n\rho_{xy}&n
\end{matrix}
\right)=n\left(
\begin{matrix}
1&\rho_{xy}\\
\rho_{xy}&1
\end{matrix}
\right),
}
где
ρ
x
y
=
C
o
v
x
y
/
σ
x
σ
y
{\displaystyle \rho_{xy} = \mathrm{Cov}_{xy}/\sigma_x\sigma_y}
1
x
{\displaystyle \mathbf{1}_x}
1
y
{\displaystyle \mathbf{1}_y}
X
=
{
x
,
y
}
.
{\displaystyle \mathfrak{X}=\{x,y\}.}
Полиномиальное распределение — частный случай биномиального многомерного [ ] Когда порождающее
N
{\displaystyle N}
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
Ω
=
∑
x
∈
X
x
{\displaystyle \Omega = \sum_{x \in \mathfrak{X}} x}
биномиальное многомерное распределение случайного вектора
ξ
^
=
(
ξ
x
,
x
∈
X
)
{\displaystyle
\widehat{\xi} = (\xi_x, x \in \mathfrak{X})
}
определяется
N
{\displaystyle N}
(
n
;
p
x
,
x
∈
X
)
{\displaystyle (n; p_x, x \in \mathfrak{X})}
∑
x
∈
X
p
x
=
1
{\displaystyle \sum_{x \in \mathfrak{X}} p_x = 1}
N
{\displaystyle N}
p
x
{\displaystyle p_x}
N
−
1
{\displaystyle N-1}
Отсюда вероятности биномиального многомерного распределения, порожденного разбиением
Ω
{\displaystyle \Omega}
n
^
=
(
n
x
,
x
∈
X
)
{\displaystyle \widehat{n}=(n_x, x \in \mathfrak{X})}
S
N
{\displaystyle \mathcal{S}^N}
∑
x
∈
X
n
x
=
n
{\displaystyle \sum_{x \in \mathfrak{X}}n_x=n}
b
n
^
(
n
;
p
x
,
x
∈
X
)
=
P
(
ξ
^
=
n
^
)
=
P
(
ξ
x
=
n
x
,
x
∈
X
)
=
n
!
∏
x
∈
X
n
x
!
∏
x
∈
X
[
p
x
]
n
x
.
{\displaystyle
b_{\widehat{n}}(n;p_x, x \in \mathfrak{X}) = \mathbf{P}(\widehat{\xi}=\widehat{n}) =
\mathbf{P}(\xi_x=n_x, x \in \mathfrak{X}) = \frac{n!}{\prod_{x \in
\mathfrak{X}} n_x!} \prod_{x \in \mathfrak{X}} [p_x]^{n_x}.
}
Вектор математических ожиданий биномиального многомерного случайного вектора
(
ξ
x
,
x
∈
X
)
{\displaystyle (\xi_x, x \in \mathfrak{X})}
(
E
ξ
x
,
x
∈
X
)
=
(
n
p
x
,
x
∈
X
)
,
{\displaystyle
(\mathbf{E}\xi_x, x \in \mathfrak{X}) = (np_x, x \in \mathfrak{X}),
}
а его ковариационная матрица выражается через ковариационную матрицу случайного вектора
(
1
x
,
x
∈
X
)
{\displaystyle (\mathbf{1}_x, x \in \mathfrak{X})}
порождающего множества
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
(
n
σ
x
2
…
n
K
o
v
x
y
…
…
…
n
K
o
v
x
y
…
n
σ
y
2
)
=
n
(
σ
x
2
…
K
o
v
x
y
…
…
…
K
o
v
x
y
…
σ
y
2
)
,
{\displaystyle
\left(
\begin{matrix}
n\sigma_x^2&\ldots&n\mathrm{Kov}_{xy}\\
\ldots&\ldots&\ldots\\
n\mathrm{Kov}_{xy}&\ldots&n\sigma_y^2\\
\end{matrix}
\right)=n\left(
\begin{matrix}
\sigma_x^2&\ldots&\mathrm{Kov}_{xy}\\
\ldots&\ldots&\ldots\\
\mathrm{Kov}_{xy}&\ldots&\sigma_y^2\\
\end{matrix}
\right),
}
где
σ
x
2
=
p
x
(
1
−
p
x
)
,
K
o
v
x
y
=
−
p
x
p
y
,
x
≠
y
{\displaystyle \sigma_x^2=p_x(1-p_x), \ \ \ \mathrm{Kov}_{xy}=-p_xp_y, \ x \not= y}
Ковариационная матрица порожденного разбиением центрированного и нормированного биномиального многомерного случайного вектора
(
ξ
x
−
n
p
x
σ
x
,
x
∈
X
)
{\displaystyle
\left(\frac{\xi_x-np_x}{\sigma_x}, \ x \in \mathfrak{X}\right)
}
выражается через ковариационную матрицу случайного вектора
(
(
1
x
−
p
x
)
/
σ
x
,
x
∈
X
)
{\displaystyle
\Big((\mathbf{1}_x-p_x)/\sigma_x, \ x \in \mathfrak{X}\Big)
}
центрированных и нормированных индикаторов событий из
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
(
n
σ
x
2
…
n
ρ
x
y
…
…
…
n
ρ
x
y
…
n
σ
y
2
)
=
n
(
σ
x
2
…
ρ
x
y
…
…
…
ρ
x
y
…
σ
y
2
)
,
{\displaystyle
\left(
\begin{matrix}
n\sigma_x^2&\ldots&n\rho_{xy}\\
\ldots&\ldots&\ldots\\
n\rho_{xy}&\ldots&n\sigma_y^2\\
\end{matrix}
\right)=n\left(
\begin{matrix}
\sigma_x^2&\ldots&\rho_{xy}\\
\ldots&\ldots&\ldots\\
\rho_{xy}&\ldots&\sigma_y^2\\
\end{matrix}
\right),
}
где
ρ
x
y
=
C
o
v
x
y
/
σ
x
σ
y
=
−
p
x
p
y
/
σ
x
σ
y
{\displaystyle \rho_{xy} = \mathrm{Cov}_{xy}/\sigma_x\sigma_y = - p_xp_y/\sigma_x\sigma_y}
1
x
{\displaystyle \mathbf{1}_x}
1
y
{\displaystyle \mathbf{1}_y}
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
Иллюстрации [ ] Биномиальное двумерное распределение с параметрами: (n; p(x), p(y), p(xy))=(11; 0.45, 0.45, 0.05); px =0.5, py =0.5, Kovxy = - 0.2, порожденное дуплетом "отталкивающихся" событий {x,y}
Биномиальное двумерное распределение с параметрами: (n; p(x), p(y), p(xy)) = (11; 0.25, 0.25, 0.25); px =0.5, py =0.5, Kovxy = 0, порожденное дуплетом независимых событий {x,y}
Биномиальное двумерное распределение с параметрами: (n; p(x), p(y), p(xy)) = (11; 0.05, 0.05, 0.45); px =0.5, py =0.5, Kovxy = + 0.2, порожденное дуплетом "притягивающихся" событий {x,y}
Литература [ ] Воробьёв О.Ю. Эвентология. – Красноярск: СФУ. – 2007. – 435c. См.также [ ] 
![{\displaystyle {\widehat {n}}=(n_{x},\ x\in {\mathfrak {X}})\in [0,n]^{N}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/b569f59e8e2fd50e8f85b966a1230274bf0c2362)
![{\displaystyle \mathbf {P} {\Big (}(\xi (X),X\subseteq {\mathfrak {X}})=(n(X),X\subseteq {\mathfrak {X}}){\big )}={\frac {n!}{\prod _{X\subseteq {\mathfrak {X}}}n(X)!}}\prod _{X\subseteq {\mathfrak {X}}}[p(X)]^{n(X)}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/d1c12d280c7f05b0cab50eabc6ebdbf40772b923)
![{\displaystyle {\widehat {n}}=(n_{x},n_{y})\in [0,n]^{2}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/0129f651314cb6d023f985097568f826c91cb269)
![{\displaystyle ={\frac {n!}{n(\varnothing )!n(x)!n(y)!n(xy)!}}[p(\varnothing )]^{n(\varnothing )}[p(x)]^{n(x)}[p(y)]^{n(y)}[p(xy)]^{n(xy)}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/e52965266c82f19f862339103f813710019f4a75)
![{\displaystyle =[p(\varnothing )]^{n}\left[\tau (x)\right]^{n_{x}}\left[\tau (y)\right]^{n_{y}}\sum _{n(xy)=\max\{0,n_{x}+n_{y}-n\}}^{\min\{n_{x},n_{y}\}}B_{n}^{n(x,y)}({\widehat {n}})\left[\tau (x,y)\right]^{n(xy)}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/b55c28ea9d863cfe38e578aa5a446989ba391187)
![{\displaystyle b_{\widehat {n}}(n;p_{x},x\in {\mathfrak {X}})=\mathbf {P} ({\widehat {\xi }}={\widehat {n}})=\mathbf {P} (\xi _{x}=n_{x},x\in {\mathfrak {X}})={\frac {n!}{\prod _{x\in {\mathfrak {X}}}n_{x}!}}\prod _{x\in {\mathfrak {X}}}[p_{x}]^{n_{x}}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/15e5b79b2908e3727a0228d0dd7cf22df1f635a7)
