Биномиальное многомерное распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Биномиальное многомерное распределение — многомерное дискретное распределение, до сих пор не встречавшееся в теории вероятностей; наиболее подходит на роль многомерного обобщения биномиального распределения в отличие от давно известного в теории вероятностей полиномиального (мультиномиального) распределения; естественным образом возникло в рамках эвентологического подхода.

Определение

Пусть проводится конечная последовательность из $n$ независимых случайных экспериментов. В результате $i$ -го эксперимента могут наступить или нет события из $N$ -множества ${\mathfrak {X}}^{(i)}$ событий $x^{(i)}\in {\mathfrak {X}}^{(i)}$ . Эвентологические распределения множеств событий ${\mathfrak {X}}^{(i)},i=1,\ldots ,n$ , совпадают с одним и тем же эвентологическим распределением

\{p(X),\ X\subseteq {\mathfrak {X}}\},

некоторого $N$ -множества ${\mathfrak {X}}$ событий $x\in {\mathfrak {X}}$ , которое не меняется от эксперимента к эксперименту. Такая схема проведения экспериментов называется многомерной (эвентологической) схемой испытаний Бернулли с порождающим множеством событий ${\mathfrak {X}}.$

Тогда каждая из случайных величин

\xi _{x}(\omega )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{x^{(i)}}(\omega ),\ \ \ x^{(i)}\in {\mathfrak {X}}^{(i)},\ \ \ x\in {\mathfrak {X}},

подчиняется биномиальному распределению с параметрами

n,p_{x}=\mathbf {P} (x),

а случайный вектор (в эвентологии, вообще, и в данном контексте, в частности, понятие «вектор» используется в расширенном смысле: как неупорядоченное конечное множество, или неупорядоченный конечный набор неких элементов) : ${\widehat {\xi }}=(\xi _{x},\ x\in {\mathfrak {X}})$ подчиняется биномиальному многомерному ( $N$ -мерному) распределению с параметрами

n,\{p(X),\ \varnothing \not =X\subseteq {\mathfrak {X}}\}.

Вероятности биномиального многомерного распределения определяются для любого целочисленного набора ${\widehat {n}}=(n_{x},\ x\in {\mathfrak {X}})\in [0,n]^{N}$ формулой

b_{\widehat {n}}(n;p(X),\varnothing \not =X\subseteq {\mathfrak {X}})=\mathbf {P} ({\widehat {\xi }}={\widehat {n}})=\mathbf {P} (\xi _{x}=n_{x},\ x\in {\mathfrak {X}})=\sum _{\check {n}}m_{\check {n}}(n;\{p(X),X\subseteq {\mathfrak {X}}\}),

где

m_{\check {n}}(n;\{p(X),X\subseteq {\mathfrak {X}}\})=\mathbf {P} ({\check {\xi }}={\check {n}})=

\mathbf {P} {\Big (}(\xi (X),X\subseteq {\mathfrak {X}})=(n(X),X\subseteq {\mathfrak {X}}){\big )}={\frac {n!}{\prod _{X\subseteq {\mathfrak {X}}}n(X)!}}\prod _{X\subseteq {\mathfrak {X}}}[p(X)]^{n(X)}

— вероятности $2^{N}$ -мерного мультиномиального распределения случайного вектора ${\check {\xi }}=(\xi (X),\ X\subseteq {\mathfrak {X}})$ с параметрами $(n;\{p(X),\ X\subseteq {\mathfrak {X}}\})$ , порожденного $2^{N}$ -множеством событий-террасок ${\Big \{}\mathrm {ter} (X),X\subseteq {\mathfrak {X}}{\Big \}}$ , которое взаимно-однозначно соответствует данному биномиальному многомерному распределению; а суммирование проводится по всем $2^{N}$ -мерным наборам

{\check {n}}=(n(X),\ X\subseteq {\mathfrak {X}})\in {\mathcal {S}}^{2^{N}},

из $2^{N}$ -вершинного симплекса ${\mathcal {S}}^{2^{N}}$ , т.е. таким, что

n=\sum _{X\subseteq {\mathfrak {X}}}n(X),

для которых выполнены ещё $N$ равенств

n_{x}=\sum _{x\in X}n(X),\ \ \ x\in {\mathfrak {X}}.

Биномиальное одномерное распределение

При $N=1$ (когда порождающее множество ${\mathfrak {X}}=\{x\}$ — моноплет событий) биномиальное одномерное распределение случайной величины $\xi _{x}$ совпадает с классическим биномиальным распределением с параметрами $(n;p_{x})$ . Иначе говоря, вероятности биномиального одномерного распределения имеют классический вид

b_{n_{x}}(n;p_{x})=\mathbf {P} (\xi _{x}=n_{x})=C_{n}^{n_{x}}p_{x}^{n_{x}}(1-p_{x})^{n-n_{x}},\ \ \ 0\leq n_{x}\leq n.

Биномиальное двумерное распределение

При $N=2$ (когда порождающее множество ${\mathfrak {X}}=\{x,y\}$ — дуплет событий) биномиальное двумерное распределение случайного вектора

{\widehat {\xi }}=(\xi _{x},\xi _{y})=(\xi _{x},x\in {\mathfrak {X}})

определяется четырьмя параметрами ${\Big (}n;p(x),p(y),p(xy){\Big )}$ , где

p(x)=\mathbf {P} (x\cap y^{c}),\ \ \ p(y)=\mathbf {P} (x^{c}\cap y),\ \ \ p(xy)=\mathbf {P} (x\cap y).

Очевидно, что $p(x)+p(y)+p(xy)=1-p(\varnothing )$ .

Вероятности биномиального двумерного распределения вычисляются для любого целочисленного вектора ${\widehat {n}}=(n_{x},n_{y})\in [0,n]^{2}$ по формуле

b_{\widehat {n}}(n;p(x),p(y),p(xy))=\mathbf {P} ({\widehat {\xi }}={\widehat {n}})=

=\mathbf {P} (\xi _{x}=n_{x},\ \xi _{y}=n_{y})=\sum _{\check {n}}m_{\check {n}}(n;p(\varnothing ),p(x),p(y),p(xy)),

где

m_{\check {n}}(n;p(\varnothing ),p(x),p(y),p(xy))=\mathbf {P} ({\check {\xi }}={\check {n}})=

=\mathbf {P} {\Big (}(\xi (\varnothing ),\xi (x),\xi (y),\xi (xy))=(n(\varnothing ),n(x),n(y),n(xy)){\big )}=

={\frac {n!}{n(\varnothing )!n(x)!n(y)!n(xy)!}}[p(\varnothing )]^{n(\varnothing )}[p(x)]^{n(x)}[p(y)]^{n(y)}[p(xy)]^{n(xy)}

— вероятности 4-мерного мультиномиального распределения случайного вектора ${\check {\xi }}=(\xi (\varnothing ),\xi (x),\xi (y),\xi (xy))$ с параметрами $(n;p(\varnothing ),p(x),p(y),p(xy))$ , а суммирование проводится по всем наборам

{\check {n}}=(n(\varnothing ),n(x),n(y),n(xy))

таким, что

n=n(\varnothing )+n(x)+n(y)+n(xy),

для которых выполнены ещё $2$ равенства

n_{x}=n(x)+n(x,y),\ \ \ n_{y}=n(y)+n(x,y).

Поскольку при фиксированных $n_{x}$ и $n_{y}$ все величины $n(\varnothing ),n(x),n(y),n(xy)$ можно выразить через один параметр, например, $n(xy)$ :

n(x)=n_{x}-n(xy),\ n(y)=n_{y}-n(xy),\ n(\varnothing )=n-n_{x}-n_{y}+n(xy),

то суммирование в формуле для биномиальной двумерной вероятности сводится к сумме по одному этому параметру в пределах так называемых границ Фреше:

\max\{0,n_{x}+n_{y}-n\}\leq n(xy)\leq \min\{n_{x},n_{y}\},

и формула принимает вид:

b_{\widehat {n}}(n;p(x),p(y),p(xy))=\mathbf {P} ({\widehat {\xi }}={\widehat {n}})=\mathbf {P} (\xi _{x}=n_{x},\ \xi _{y}=n_{y})=

=[p(\varnothing )]^{n}\left[\tau (x)\right]^{n_{x}}\left[\tau (y)\right]^{n_{y}}\sum _{n(xy)=\max\{0,n_{x}+n_{y}-n\}}^{\min\{n_{x},n_{y}\}}B_{n}^{n(x,y)}({\widehat {n}})\left[\tau (x,y)\right]^{n(xy)}.

где

B_{n}^{n(x,y)}({\widehat {n}})={\frac {n!}{(n-n_{x}-n_{y}+n(xy))!(n_{x}-n(xy))!(n_{y}-n(xy))!n(xy)!}}

— так называемый двумерный биномиальный коэффициент, а

\tau (x)={\frac {p(x)}{p(\varnothing )}},\ \tau (y)={\frac {p(y)}{p(\varnothing )}},\ \tau (x,y)={\frac {p(\varnothing )p(xy)}{p(x)p(y)}}

— мультковариации первого и второго порядка событий $x$ и $y$ .

Ниже используются обозначения:

p_{x}=\mathbf {P} (x)=p(x)+p(xy),\ \ \ p_{y}=\mathbf {P} (y)=p(y)+p(xy),

\mathrm {Kov} _{xy}=p(xy)-p_{x}p_{y},\ \ \ \sigma _{x}^{2}=p_{x}(1-p_{x}),\ \ \ \sigma _{y}^{2}=p_{y}(1-p_{y}).

Вектор математических ожиданий биномиального двумерного случайного вектора $(\xi _{x},\xi _{y})$ равен

(\mathbf {E} \xi _{x},\mathbf {E} \xi _{x})=(np_{x},np_{y}),

а его ковариационная матрица выражается через ковариационную матрицу случайного вектора $(\mathbf {1} _{x},\mathbf {1} _{y})$ индикаторов событий из порождающего множества ${\mathfrak {X}}=\{x,y\}$ и имеет вид

\left({\begin{matrix}np_{x}(1-p_{x})&n\mathrm {Kov} _{xy}\\n\mathrm {Kov} _{xy}&np_{y}(1-p_{y})\end{matrix}}\right)=n\left({\begin{matrix}p_{x}(1-p_{x})&\mathrm {Kov} _{xy}\\\mathrm {Kov} _{xy}&p_{y}(1-p_{y})\end{matrix}}\right)

Ковариационная матрица центрированного и нормированного биномиального двумерного случайного вектора

\left({\frac {\xi _{x}-np_{x}}{\sigma _{x}}},{\frac {\xi _{y}-np_{y}}{\sigma _{y}}}\right)

выражается через ковариационную матрицу случайного вектора

{\Big (}(\mathbf {1} _{x}-p_{x})/\sigma _{x},(\mathbf {1} _{y}-p_{y})/\sigma _{y}{\Big )}

центрированных и нормированных индикаторов событий из ${\mathfrak {X}}=\{x,y\}$ и имеет вид

\left({\begin{matrix}n&n\rho _{xy}\\n\rho _{xy}&n\end{matrix}}\right)=n\left({\begin{matrix}1&\rho _{xy}\\\rho _{xy}&1\end{matrix}}\right),

где $\rho _{xy}=\mathrm {Cov} _{xy}/\sigma _{x}\sigma _{y}$ — коэффициент корреляции случайных величин $\mathbf {1} _{x}$ и $\mathbf {1} _{y}$ — индикаторов событий из ${\mathfrak {X}}=\{x,y\}.$

Полиномиальное распределение — частный случай биномиального многомерного

Когда порождающее $N$ -множество ${\mathfrak {X}}$ составлено из событий, образующих разбиение: $\Omega =\sum _{x\in {\mathfrak {X}}}x$ , биномиальное многомерное распределение случайного вектора

{\widehat {\xi }}=(\xi _{x},x\in {\mathfrak {X}})

определяется $N$ параметрами $(n;p_{x},x\in {\mathfrak {X}})$ (поскольку $\sum _{x\in {\mathfrak {X}}}p_{x}=1$ , то среди $N$ вероятностей $p_{x}$ , только $N-1$ можно выбирать независимо) и представляет из себя полиномиальное распределение с данными параметрами.

Отсюда вероятности биномиального многомерного распределения, порожденного разбиением $\Omega$ , вычисляются для любого целочисленного вектора ${\widehat {n}}=(n_{x},x\in {\mathfrak {X}})$ из симплекса ${\mathcal {S}}^{N}$ (т.к. $\sum _{x\in {\mathfrak {X}}}n_{x}=n$ ) такой же формулой, что и вероятности соответствующего полиномиального распределения

b_{\widehat {n}}(n;p_{x},x\in {\mathfrak {X}})=\mathbf {P} ({\widehat {\xi }}={\widehat {n}})=\mathbf {P} (\xi _{x}=n_{x},x\in {\mathfrak {X}})={\frac {n!}{\prod _{x\in {\mathfrak {X}}}n_{x}!}}\prod _{x\in {\mathfrak {X}}}[p_{x}]^{n_{x}}.

Вектор математических ожиданий биномиального многомерного случайного вектора $(\xi _{x},x\in {\mathfrak {X}})$ равен

(\mathbf {E} \xi _{x},x\in {\mathfrak {X}})=(np_{x},x\in {\mathfrak {X}}),

а его ковариационная матрица выражается через ковариационную матрицу случайного вектора $(\mathbf {1} _{x},x\in {\mathfrak {X}})$ индикаторов событий из порождающего множества ${\mathfrak {X}}$ и имеет вид

\left({\begin{matrix}n\sigma _{x}^{2}&\ldots &n\mathrm {Kov} _{xy}\\\ldots &\ldots &\ldots \\n\mathrm {Kov} _{xy}&\ldots &n\sigma _{y}^{2}\\\end{matrix}}\right)=n\left({\begin{matrix}\sigma _{x}^{2}&\ldots &\mathrm {Kov} _{xy}\\\ldots &\ldots &\ldots \\\mathrm {Kov} _{xy}&\ldots &\sigma _{y}^{2}\\\end{matrix}}\right),

где $\sigma _{x}^{2}=p_{x}(1-p_{x}),\ \ \ \mathrm {Kov} _{xy}=-p_{x}p_{y},\ x\not =y$ .

Ковариационная матрица порожденного разбиением центрированного и нормированного биномиального многомерного случайного вектора

\left({\frac {\xi _{x}-np_{x}}{\sigma _{x}}},\ x\in {\mathfrak {X}}\right)

выражается через ковариационную матрицу случайного вектора

{\Big (}(\mathbf {1} _{x}-p_{x})/\sigma _{x},\ x\in {\mathfrak {X}}{\Big )}

центрированных и нормированных индикаторов событий из ${\mathfrak {X}}$ и имеет вид

\left({\begin{matrix}n\sigma _{x}^{2}&\ldots &n\rho _{xy}\\\ldots &\ldots &\ldots \\n\rho _{xy}&\ldots &n\sigma _{y}^{2}\\\end{matrix}}\right)=n\left({\begin{matrix}\sigma _{x}^{2}&\ldots &\rho _{xy}\\\ldots &\ldots &\ldots \\\rho _{xy}&\ldots &\sigma _{y}^{2}\\\end{matrix}}\right),

где $\rho _{xy}=\mathrm {Cov} _{xy}/\sigma _{x}\sigma _{y}=-p_{x}p_{y}/\sigma _{x}\sigma _{y}$ — коэффициент корреляции случайных величин $\mathbf {1} _{x}$ и $\mathbf {1} _{y}$ — индикаторов событий из ${\mathfrak {X}}$ .