Наука
Advertisement
Ивентология Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Биномиальное многомерное распределение — многомерное дискретное распределение, до сих пор не встречавшееся в теории вероятностей; наиболее подходит на роль многомерного обобщения биномиального распределения в отличие от давно известного в теории вероятностей полиномиального (мультиномиального) распределения; естественным образом возникло в рамках эвентологического подхода.

Определение

Пусть проводится конечная последовательность из независимых случайных экспериментов. В результате -го эксперимента могут наступить или нет события из -множества событий . Эвентологические распределения множеств событий , совпадают с одним и тем же эвентологическим распределением

некоторого -множества событий , которое не меняется от эксперимента к эксперименту. Такая схема проведения экспериментов называется многомерной (эвентологической) схемой испытаний Бернулли с порождающим множеством событий

Тогда каждая из случайных величин

подчиняется биномиальному распределению с параметрами

а случайный вектор (в эвентологии, вообще, и в данном контексте, в частности, понятие «вектор» используется в расширенном смысле: как неупорядоченное конечное множество, или неупорядоченный конечный набор неких элементов) : подчиняется биномиальному многомерному (-мерному) распределению с параметрами

Вероятности биномиального многомерного распределения определяются для любого целочисленного набора формулой

где

— вероятности -мерного мультиномиального распределения случайного вектора с параметрами , порожденного -множеством событий-террасок , которое взаимно-однозначно соответствует данному биномиальному многомерному распределению; а суммирование проводится по всем -мерным наборам

из -вершинного симплекса , т.е. таким, что

для которых выполнены ещё равенств

Биномиальное одномерное распределение

При (когда порождающее множество — моноплет событий) биномиальное одномерное распределение случайной величины совпадает с классическим биномиальным распределением с параметрами . Иначе говоря, вероятности биномиального одномерного распределения имеют классический вид

Биномиальное двумерное распределение

При (когда порождающее множество — дуплет событий) биномиальное двумерное распределение случайного вектора

определяется четырьмя параметрами , где

Очевидно, что .

Вероятности биномиального двумерного распределения вычисляются для любого целочисленного вектора по формуле

где

— вероятности 4-мерного мультиномиального распределения случайного вектора с параметрами , а суммирование проводится по всем наборам

таким, что

для которых выполнены ещё равенства

Поскольку при фиксированных и все величины можно выразить через один параметр, например, :

то суммирование в формуле для биномиальной двумерной вероятности сводится к сумме по одному этому параметру в пределах так называемых границ Фреше:

и формула принимает вид:

где

— так называемый двумерный биномиальный коэффициент, а

мультковариации первого и второго порядка событий и .

Ниже используются обозначения:

Вектор математических ожиданий биномиального двумерного случайного вектора равен

а его ковариационная матрица выражается через ковариационную матрицу случайного вектора индикаторов событий из порождающего множества и имеет вид

Ковариационная матрица центрированного и нормированного биномиального двумерного случайного вектора

выражается через ковариационную матрицу случайного вектора

центрированных и нормированных индикаторов событий из и имеет вид

где — коэффициент корреляции случайных величин и — индикаторов событий из

Полиномиальное распределение — частный случай биномиального многомерного

Когда порождающее -множество составлено из событий, образующих разбиение: , биномиальное многомерное распределение случайного вектора

определяется параметрами (поскольку , то среди вероятностей , только можно выбирать независимо) и представляет из себя полиномиальное распределение с данными параметрами.

Отсюда вероятности биномиального многомерного распределения, порожденного разбиением , вычисляются для любого целочисленного вектора из симплекса (т.к. ) такой же формулой, что и вероятности соответствующего полиномиального распределения

Вектор математических ожиданий биномиального многомерного случайного вектора равен

а его ковариационная матрица выражается через ковариационную матрицу случайного вектора индикаторов событий из порождающего множества и имеет вид

где .

Ковариационная матрица порожденного разбиением центрированного и нормированного биномиального многомерного случайного вектора

выражается через ковариационную матрицу случайного вектора

центрированных и нормированных индикаторов событий из и имеет вид

где — коэффициент корреляции случайных величин и — индикаторов событий из .

Иллюстрации

Биномиальное двумерное распределение с параметрами: (n; p(x), p(y), p(xy))=(11; 0.45, 0.45, 0.05); px=0.5, py=0.5, Kovxy = - 0.2, порожденное дуплетом "отталкивающихся" событий {x,y}

Биномиальное двумерное распределение с параметрами: (n; p(x), p(y), p(xy)) = (11; 0.25, 0.25, 0.25); px=0.5, py=0.5, Kovxy = 0, порожденное дуплетом независимых событий {x,y}

Биномиальное двумерное распределение с параметрами: (n; p(x), p(y), p(xy)) = (11; 0.05, 0.05, 0.45); px=0.5, py=0.5, Kovxy = + 0.2, порожденное дуплетом "притягивающихся" событий {x,y}

Литература

  • Воробьёв О.Ю. Эвентология. – Красноярск: СФУ. – 2007. – 435c.

См.также

Advertisement