Биномиальное распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины $\xi$ , принимающей целочисленные значения $k=0,\ldots,n$ с вероятностями

{\displaystyle p_k = \mathbf{P}(\xi=k) = b_k(n,p) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, }

где $0 \leq p \leq 1$ — параметр биномиального распределения, иногда называемый «вероятностью положительного исхода»; одно из основных распределений вероятностей, порождаемых конечным множеством независимых случайных экспериментов (испытаний).

Традиционная интерпретация. Пусть $\beta_1, \ldots, \beta_n$ — последовательность независимых случайных величин (так называемых бернуллиевских случайных величин), каждая из которых может принимать лишь два значения $1$ и $0$ с вероятностями $p$ и $1-p$ соответственно. Случайные величины $\beta_i$ можно трактовать как результаты независимых испытаний, причём $\beta_i=1$ в случае «положительного исхода» и $\beta_i=0$ в случае «отрицательного исхода» $i$ -го испытания. Если общее количество испытаний фиксировано, то такая схема называется испытаниями Бернулли, причём суммарное количество «положительных исходов»

{\displaystyle \xi(\omega) = \sum_{i=1}^n \beta_i(\omega), }

подчиняется биномиальному распределению с параметрами $n, p$ .

Эвентологическая интерпретация. Проводится множество из $n$ случайных экспериментов. В результате $k$ -го эксперимента событие $x_k$ наступает с вероятностью $p=\mathbf{P}(x_k)$ или не наступает с вероятностью $1-p=\mathbf{P}(x_k^c)$ ; все вместе эти события образуют множество событий

{\displaystyle \mathfrak{X} = \{x_1, \ldots, x_n\}, }

независимых в совокупности. Такая схема проведения экспериментов называется схемой испытаний Бернулли. Случайная величина

{\displaystyle \xi(\omega) = \sum_{x \in \mathfrak{X}}^n \mathbf{1}_{x}(\omega), }

равная сумме индикаторов событий из $\mathfrak{X}$ и интерпретируемая как число событий из множества $\mathfrak{X}$ , наступающих в результате $n$ независимых случайных экспериментов, подчиняется биномиальному распределению с параметрами $n, p$ .

Производящая функция биномиального распределения — $n$ -ая степень бинома $(pw+(1-p))$ , разложение которой в сумму по формуле бинома Ньютона (отсюда название «биномиальное распределение») имеет вид:

{\displaystyle (pw+(1-p))^n = \sum_{k=0}^n b_k w^k = \sum_{k=0}^n C_n^kp_k(1-p)^{n-k} w^k. }

Моменты биномиального распределения выражаются формулами:

{\displaystyle \mathbf{E}\xi = np, \ \ \ \mathbf{D}\xi = \mathbf{E}(\xi-np)^2 = np(1-p), }

{\displaystyle \mu_3 = \mathbf{E}(\xi-np)^3 = np(1-p)(1-2p); }

асимметрия

{\displaystyle \gamma_1=(1-2p)/\sqrt{np(1-p)}, }

эксцесс

{\displaystyle \gamma_2=(1-6p(1-p))/np(1-p). }

Характеристическая функция

{\displaystyle f(t) = (1+p(e^{it}-1))^n. }

Функция распределения биномиальной случайной величины имеет вид

{\displaystyle F(u) = \mathbf{P}(\xi \leq u) = \sum_{k=0}^{[u]} C_n^kp^k(1-p)^{n-k}, }

где $[u]$ — целая часть $u \in [-\infty, +\infty]$ , причём справедливо так называемое «нормальное приближение»

{\displaystyle F(u) = \Phi \left[ \frac{u-np+1/2}{\sqrt{np(1-p)}}\right] +R_n(u,p), }

где $\Phi$ — функция распределения стандартного нормального распределения, а $R_n(u,p) = O(n^{-1/2})$ равномерно для всех $u$ . Существуют и другие нормальные приближения биномиального распределения с остатками более высокого порядка точности.

При $n \to \infty$ функция биномиального распределения $F$ выражается в терминах функции $\Phi$ стандартного нормального распределения асимптотической формулой (теорема Муавра-Лапласа)

{\displaystyle F(u) = \frac{1}{B([u]+1, n-[u])} \int_0^1 t^{[u]} (1-t)^{n-[u]-1} dt, }

где $B(a,b)$ — бета-функция Эйлера.

Если количество независимых экспериментов $n$ велико, а вероятность $p$ мала, то биномиальные вероятности $b_k(n,p)$ приближенно выражаются в терминах распределения Пуассона: