Биномиальное распределение одной случайной величины

Определение

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины $\xi$ , принимающей целочисленные значения $k=0,\ldots ,n$ с вероятностями

p_{k}=\mathbf {P} (\xi =k)=b_{k}(n,p)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},

где $0\leq p\leq 1$ — параметр биномиального распределения, иногда называемый «вероятностью положительного исхода»; одно из основных распределений вероятностей, порождаемых конечным множеством независимых случайных экспериментов (испытаний).

Традиционная интерпретация. Пусть $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ — последовательность независимых случайных величин (так называемых бернуллиевских случайных величин), каждая из которых может принимать лишь два значения $1$ и $0$ с вероятностями $p$ и $1-p$ соответственно. Случайные величины $\beta _{i}$ можно трактовать как результаты независимых испытаний, причём $\beta _{i}=1$ в случае «положительного исхода» и $\beta _{i}=0$ в случае «отрицательного исхода» $i$ -го испытания. Если общее количество испытаний фиксировано, то такая схема называется испытаниями Бернулли, причём суммарное количество «положительных исходов»

\xi (\omega )=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(\omega ),

подчиняется биномиальному распределению с параметрами $n,p$ .

Производящая функция биномиального распределения — $n$ -ая степень бинома $(pw+(1-p))$ , разложение которой в сумму по формуле бинома Ньютона (отсюда название «биномиальное распределение») имеет вид:

(pw+(1-p))^{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}w^{k}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p_{k}(1-p)^{n-k}w^{k}.

Моменты биномиального распределения выражаются формулами:

\mathbf {E} \xi =np,\ \ \ \mathbf {D} \xi =\mathbf {E} (\xi -np)^{2}=np(1-p),

\mu _{3}=\mathbf {E} (\xi -np)^{3}=np(1-p)(1-2p);

асимметрия

\gamma _{1}=(1-2p)/{\sqrt {np(1-p)}},

эксцесс

\gamma _{2}=(1-6p(1-p))/np(1-p).

Характеристическая функция

f(t)=(1+p(e^{it}-1))^{n}.

Функция распределения биномиальной случайной величины имеет вид

F(u)=\mathbf {P} (\xi \leq u)=\sum _{k=0}^{[u]}C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},

где $[u]$ — целая часть $u\in [-\infty ,+\infty ]$ , причём справедливо так называемое «нормальное приближение»

F(u)=\Phi \left[{\frac {u-np+1/2}{\sqrt {np(1-p)}}}\right]+R_{n}(u,p),

где $\Phi$ — функция распределения стандартного нормального распределения, а $R_{n}(u,p)=O(n^{-1/2})$ равномерно для всех $u$ . Существуют и другие нормальные приближения биномиального распределения с остатками более высокого порядка точности.

При $n\to \infty$ функция биномиального распределения $F$ выражается в терминах функции $\Phi$ стандартного нормального распределения асимптотической формулой (теорема Муавра-Лапласа)

F(u)={\frac {1}{B([u]+1,n-[u])}}\int _{0}^{1}t^{[u]}(1-t)^{n-[u]-1}dt,

где $B(a,b)$ — бета-функция Эйлера.

Если количество независимых экспериментов $n$ велико, а вероятность $p$ мала, то биномиальные вероятности $b_{k}(n,p)$ приближенно выражаются в терминах распределения Пуассона:

b_{k}(n,p)={\frac {(np)^{k}}{k!}}e^{-np}.

При этом если $n\to \infty$ и $0<c\leq u\leq C$ , то равномерно относительно всех $p$ из открытого интервала имеет место асимптотическая формула

F(u)=\sum _{k=0}^{[u]}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }+O(n^{-2}),

где $\lambda =(2n-[u])p/(2-p)$ .

Биномиальное распределение не может быть распределением одной случайной величины

Доказательство первое

Если биномиальное распределение одной случайной величины имеет математическое ожидание $MX=np$ , то при условии $n>{\frac {1}{p}}$ математическое ожидание биномиального распределения одной случайной величины будет превышать единицу $MX=np>1$ , что недопустимо, поскольку согласно второй аксиоме Колмогорова (см. Аксиоматика Колмогорова) сумма всех вероятностей любого распределения обязана быть равной единице.

Что и требовалось доказать

Доказательство второе - Буняковского

Биномиальное распределение двух случайных величин было получено путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином. ^[1]

В современной записи биномиальное распределение Буняковского имеют следующий вид:

P(X_{1}=n_{1},X_{2}=n_{2})={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!}}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}},

2=k\leq n<\infty ,\quad n_{1}+n_{2}=n,\quad p_{1}+p_{2}=1.

Литература

↑ Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.

См. также

[1] Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.

[1]