Определение
Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины
, принимающей целочисленные значения с вероятностямигде
— параметр биномиального распределения, иногда называемый «вероятностью положительного исхода»; одно из основных распределений вероятностей, порождаемых конечным множеством независимых случайных экспериментов (испытаний).Традиционная интерпретация. Пусть
— последовательность независимых случайных величин (так называемых бернуллиевских случайных величин), каждая из которых может принимать лишь два значения и с вероятностями и соответственно. Случайные величины можно трактовать как результаты независимых испытаний, причём в случае «положительного исхода» и в случае «отрицательного исхода» -го испытания. Если общее количество испытаний фиксировано, то такая схема называется испытаниями Бернулли, причём суммарное количество «положительных исходов»подчиняется биномиальному распределению с параметрами
.Производящая функция биномиального распределения —
-ая степень бинома , разложение которой в сумму по формуле бинома Ньютона (отсюда название «биномиальное распределение») имеет вид:Моменты биномиального распределения выражаются формулами:
асимметрия
эксцесс
Характеристическая функция
Функция распределения биномиальной случайной величины имеет вид
где
— целая часть , причём справедливо так называемое «нормальное приближение»где
— функция распределения стандартного нормального распределения, а равномерно для всех . Существуют и другие нормальные приближения биномиального распределения с остатками более высокого порядка точности.При
функция биномиального распределения выражается в терминах функции стандартного нормального распределения асимптотической формулой (теорема Муавра-Лапласа)где
— бета-функция Эйлера.Если количество независимых экспериментов
велико, а вероятность мала, то биномиальные вероятности приближенно выражаются в терминах распределения Пуассона:При этом если
и , то равномерно относительно всех из открытого интервала имеет место асимптотическая формулагде
.Биномиальное распределение не может быть распределением одной случайной величины
Доказательство первое
Если биномиальное распределение одной случайной величины имеет математическое ожидание Аксиоматика Колмогорова) сумма всех вероятностей любого распределения обязана быть равной единице.
, то при условии математическое ожидание биномиального распределения одной случайной величины будет превышать единицу , что недопустимо, поскольку согласно второй аксиоме Колмогорова (см.Что и требовалось доказать
Доказательство второе - Буняковского
Биномиальное распределение двух случайных величин было получено путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином. [1]
В современной записи биномиальное распределение Буняковского имеют следующий вид:
Литература
- ↑ Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.
См. также
- Распределение вероятностей
- Биномиальное распределение Буняковского
- Биномиальное распределение двух случайных величин
- Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Биномиальное многомерное распределение
- Биномиальное распределение: парадоксы
- Полиномиальное распределение независимых случайных величин
- Полиномиальное распределение зависимых случайных величин
- Полиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Полиномиальное распределение: парадоксы