Большая полуось

Большая полуось — это один из основных геометрических параметров объектов, образованных посредством конического сечения.

Эллипс

Основные параметры эллипса

Большой осью эллипса называется его наибольший диаметр, прямая проходящая через центр и два фокуса. А большая полуось составляет половину этого расстояния, и таким образом, идёт от центра, через фокус, и на край эллипса. А под углом в 90° к большой полуоси располагается малая полуось — это минимальное расстояние от центра эллипса до его края. Для частного случая круга, большая и малая полуоси равны и являются радиусами. Таким образом можно думать о большой и малой полуосях как о своего рода радиусах эллипса.

Длина большой полуоси $a\,\!$ связана с длиной малой полуоси $b\,\!$ через эксцентриситет $e\,\!$ и коническое сечение $l\,\!$, следующим образом:

$b=a{\sqrt {1-e^{2}}},\,$

$\ell =a(1-e^{2}),\,$

$a\ell =b^{2}.\,$

Большая полуось представляет собой среднее значение наибольшего и наименьшего расстояния от точки эллипса до его фокусов. Рассмотрим теперь уравнение в полярных координатах, с точкой в начале координат (полюс) и лучом, начинающейся из этой точки (полярная ось):

$r(1-e\cos \theta )=\ell .\,$

Получим средние значения $r={\ell\over{1+e}}\,\!$ и $r={\ell\over{1-e}}\,\!$ и большую полуось $a={\ell \over 1-e^{2}}.\,$

Парабола

График построения параболы простейшей функции y = x²

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остаётся постоянным, а другой отодвигается в назад, сохраняя $l\,\!$ постоянным. Таким образом $a\,\!$ и $b\,\!$ стремятся к бесконечности, причём $a\,\!$ быстрее, чем $b\,\!$.

Гипербола

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси $x\,\!$ (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:

${\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.$

Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:

$a={\ell\over e^2-1 }$.

Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется поперечной осью гиперболы.

Астрономия

Орбитальный период

В небесной механике орбитальный период $T\,\!$ обращения малых тел по эллиптической или круговой орбите вокруг более крупного центрального тела рассчитывается по формуле:

$T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over \mu }}$

где:

$a\,\!$ — это размер большой полуоси орбиты

$\mu$ — это стандартный гравитационный параметр (en:standard gravitational parameter)

Следует обратить внимание, что в данной формуле для всех эллипсов период обращения определяется значением большой полуоси, независимо от эксцентриситета.

В астрономии большая полуось, наряду с орбитальным периодом, является одним из самых важных орбитальных элементов орбиты космического тела .

Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с орбитальным периодом по третьему закону Кеплера.

$\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$

где:

$T\,\!$ — орбитальный период в годах;

$a\,\!$ — большая полуось в астрономических единицах.

Это выражение является частным случаем общего решения задачи двух тел Исаака Ньютона:

$T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3\,$

где:

$G \,\!$ — гравитационная постоянная

$M\,\!$ — масса центрального тела

$m\,\!$ — масса обращающегося вокруг него спутника. Как правило, масса спутника настолько мала по сравнению с массой центрального тела, что ею можно пренебречь. Поэтому, сделав соответствующие упрощения в этой формуле, получим данную формулу в упрощённом виде, который приведён выше.

Орбита движения спутника вокруг общего с центральным телом центра масс (барицентра), представляет собой эллипс. Большая полуось используется в астрономии всегда применительно к среднему расстоянию между планетой и звездой, в результате орбиты планет Солнечной системы приведены к гелиоцентрической системе, а не к системе движения вокруг центра масс. Эту разницу удобнее всего проиллюстрировать на примере системы Земля-Луна. Отношение масс в этом случае составляет 81,30059. Большая полуось геоцентрической орбиты Луны составляет 384400 км. В то время как расстояние до Луны относительно центра масс системы Земля-Луна составляет 379700 км, из-за влияния массы Луны центр масс находится не в центре Земли, а в 4700 км от него. В итоге средняя орбитальная скорость Луны относительно центра масс составляет 1,010 км/с, а средняя скорость Земли 0,012 км/с. А общая сумма этих скоростей даёт орбитальную скорость Луны 1,022 км/с; тоже самое значение можно получить, рассматривая движение Луны относительно центра Земли, а не центра масс.

Среднее расстояние

Для улучшения этой статьи желательно?: Проверить качество перевода с иностранного языка.

Часто говорят, что большая полуось является средним расстоянием между центральным и орбитальным телом. Это не совсем верно, так как под средним расстоянием можно понимать разные значения – в зависимости от величины, по которой производят усреднение:

• усреднение по эксцентрической аномалии. В таком случае среднее расстояние будет точно равно большой полуоси орбиты.
• усреднение по истинной аномалии, тогда среднее расстояние будет точно равно малой полуоси орбиты.
• усреднение по средней аномалии даст значение среднего расстояния, усреднённое по времени:

$a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right).\,$

• усреднение по радиусу, которое получают из следующего соотношения:

${\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}.\,$

Энергия; расчёт большой полуоси методом векторов состояния

В небесной механике большая полуось $a\,\!$ может быть рассчитана методом векторов орбитального состояния:

$a={-\mu \over {2\varepsilon }}\,$

для эллиптических орбит

$a={\mu \over {2\varepsilon }}\,$

для гиперболической траектории

и

$\varepsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}$

(en:specific orbital energy)

и

$\mu =G(M+m)\,$

(стандартный гравитационный параметр), где:

$v\,\!$ — орбитальная скорость спутника, на основе вектора скорости,

$r \,\!$ — вектор положения спутника в координатах системы отсчёта, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрический в плоскости экватора — на орбите вокруг Земли, или гелиоцентрический в плоскости эклиптики — на орбите вокруг Солнца),

$G \,\!$ — гравитационная постоянная,

$M\,\!$ и $m\,\!$ — массы тел.

Большая полуось рассчитывается на основе общей массы и удельной энергии, независимо от значения эксцентриситета орбиты.

См. также

• Средняя аномалия
• Аргумент перицентра
• Эксцентриситет
• Наклон орбиты
• Долгота восходящего узла
• Перицентр
• Апоцентр

Ссылки

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse With interactive animation

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Перевести текст с иностранного языка на русский.