Броуновское движение

Данная статья носит обзорный характер. В ней представлены концепции классической теории броуновского движенияи область её применения.

Введение

Знаменитый ботаник Роберт Броун (Robert Brown) заметил в 1828 г. и описал в 1829 г. ("Poggendorff's Annalen der Physik und Chemie", XIV) своеобразные неправильные колебательные движения пылинок в воде. Явление это, открытое при помощи микроскопа с сильным увеличением, наблюдавшееся затем многими другими учеными, получило название броунова молекулярного движения. Броуновское движение происходит из-за того, что все жидкости и газы состоят из атомов или молекул - мельчайших частиц, которые находятся в постоянном хаотическом тепловом движении, и потому непрерывно толкают броуновскую частицу с разных сторон. Было установлено, что крупные частицы с размерами более 5 мкм в Броуновском движении практически не участвуют (они неподвижны или седиментируют), более мелкие частицы (менее 3мкм) двигаются поступательно по весьма сложным траекториям или вращаются. Когда в среду погружено крупное тело, то толчки, происходящие в огромном количестве, усредняются и формируют постоянное давление. Если крупное тело окружено средой со всех сторон, то давление практически уравновешивается, остается только подъемная сила Архимеда - такое тело плавно всплывает или тонет. Если же тело мелкое, как броуновская частица, то становятся заметны флуктуации давления, которые создают заметную случайно изменяющуюся силу, приводящую к колебаниям частицы. Броуновские частицы обычно не тонут и не всплывают, а находятся в среде во взвешенном состоянии. При наблюдении броуновского движения фиксируется (Рис. 1) положение частицы через равные промежутки времени. Конечно, между наблюдениями частица движется не прямолинейно, но соединение последовательных положений прямыми линиями дает условную картину движения.

Броуновское движение частицы гуммигута в воде

Для описания броуновского движения частицы в жидкости предположим, что на нее со стороны частиц жидкости действуетслучайная сила $\xi$, среднее значение которой равно нулю $\langle\xi\rangle=0$. Тогда можно записать уравнение движения броуновской частицы в направлении выбранной оси $X$ в виде

$m\ddot{x}+r\dot{x}=\xi$ где $m$-масса броуновской частицы, $r$-коэффициент вязкого трения броуновской частицы в жидкости. В статистической физике для описания броуновского движения используется уравнение Ланжевена. Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение $a$ броуновской частицы массы $m$ выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы $v$ (Закон Стокса), шумового члена $\eta(t)$ (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) - за счет непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и $H(x)$-- систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

$ma=m\frac{dv}{dt}=H(x)-\gamma v +\eta(t)$

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

$m\ddot{x}=-\frac{1}{B}\dot{x}+F(t)$

Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:

$\langle F(t) \rangle =0$

$\langle F(t_1)F(t_2)\rangle=b\delta(t_1-t_2)$

где $b$ - некоторая константа, которую мы определим позже, $\delta(t1 - t2)$ - дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это так называемая дельта-коррелированая случайная величина: ее автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом. Перепишем уравнение в терминах скорости:

$\dot{v}=-\lambda v + \frac{F}{m}$

где

$\lambda=\frac{1}{mB}$

Пусть в начальный момент времени $t=t_0$ частица имела скорость $v_0$. Будем искать решение в виде: $v(t) = u(t)e^{\lambda t}$, тогда для $u(t)$ получим следующее дифференциальное уравение:

$\dot{u}=e^{\lambda t}\frac{F}{m}$

В итоге, получаем искомое выражение для скорости:

$v(t)=v_0e^{- \lambda t} +e^{\lambda t}\int\limits_0^t\frac{F(\tau)}{m}e^{\lambda t}d\tau$. Из него следуют два важных соотношения:

$\langle v(t)\rangle=v_0e^{-\lambda t}$ То есть среднее

значение скорости стремится к нулю с течением времени. $\langle v^{2}(t)\rangle = {v_0}^{2}e^{-2\lambda t}+\frac{b}{2\lambda m^{2}}(1-e^{-2\lambda t})$. Средний квадрат скорости со временем стремится к значению $\frac{b}{2\lambda m^{2}}$. Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента $b$:

$b=2\frac{k_BT}{B}$

Преобразованием исходного выражения можно получить следующее:

$\frac{d\langle x^{2}(t)\rangle}{dt}=\frac{2}{\lambda}\langle (\frac{dx}{dt})^{2}\rangle$

$\langle x^{2}\rangle=6k_BTBt$

Откуда следует соотношение Эйнштейна: $D = k_BTB$ где $B$- подвижность броуновской частицы.

Область применения классического броуновского движения

Теория броуновского движения нашла широкое применение не только для описания случайного движения частицы в жидкости, но и для решения целого ряда прикладных задач статистической механики. Этой теории подчиняются случайные тепловые колебания высокоточных механических и электрических измерительных устройств, таких, например, как крутильные весы и гальванометры (предел точности показаний зеркального гальванометра определяется дрожанием зеркальца, подобно броуновской частице бомбардируемого молекуламивоздуха). Кинетические уравнения, полученные в теории броуновского движения, используются для анализа точности работы различных систем управления. Они позволяют рассчитать случайные ошибки, возникающие при управлении техническими устройствами и провести оптимизацию их параметров. Законами броуновского движения определяется случайное движение электронов, вызывающее шумы в электрических цепях. Диэлектрические потери в диэлектриках объясняются случайными движениями молекул-диполей, составляющихдиэлектрик. Случайные движения ионов в растворах электролитов увеличивают их электрическое сопротивление. Случайное броуновское движение производит частотную диаграмму, которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые Мандельброт предсказал при помощи броуновского движения. Частотные диаграммы, созданные при построении графика на основе броуновских чисел также можно преобразовать в музыку. Конечно, этот тип фрактальной музыки совсем не музыкален и может действительно утомить слушателя. Занося на график случайно Броуновские числа, можно получить Пылевой Фрактал. Кроме применения броуновского движения для получения фракталов из фракталов, оно может использоваться и для создания ландшафтов. Во многих фантастических фильмах (например, Star Trek) техника броуновского движения была использована для создания инопланетных ландшафтов, таких, как холмы и топологические картины высокогорных плато. Эти техники очень эффективны, и их можно найти в книге Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". Мандельброт использовал броуновские линии для создания фрактальных линийпобережья и карт островов (которые на самом деле были просто в случайном порядке изображенные точки) с высоты птичьего полета.

Литература

• Lanjun Lao and Enzo Orsinger. Hyperbolic and fractional hyperbolic Brownian motion,Stochastics: An International Journal of Probablty and Stochastics Processes,p.505-522, 2007.

• И.К.Кикоин и А.К.Кикоин. Молекулярная физика, Наука, Москва, 1976.