Наука
Advertisement

В математике для данного множества , степень множества, множество подмножеств или булеан , записывается как , или — это множество всех подмножеств множества . В аксиоматической теории множеств, существование булеана произвольного множества постулируется аксиомой булеана.

Любое подмножество из называется семейством множеств под .

Например, если — это множество , то полный список подмножеств имеет вид:

  • (пустое множество, обычно обозначается )

и, следовательно, булеан множества равен

Если — конечное множество из элементов, то его булеан состоит из элементов. (Можно – и компьютеры иногда так делают – представить элементы как -битовые числа; -й бит отвечает за присутствие или отсутствие -го элемента из в соответствующем подмножестве. Существует таких -битовых чисел.)

Диагональ Кантора показывает, что булеан множества (бесконечного или нет) всегда имеет строго большую мощность, чем само множество (проще говоря, булеан должен быть 'больше', чем исходное множество). Булеан множества натуральных чисел, например, можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством вещественных чисел (см. мощность континуума).

Булеан множества вместе с операциями объединения, пересечения и дополнения можно рассматривать как типичный пример булевой алгебры. Действительно, можно показать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре булеана конечного множества. Для бесконечных булевых алгебр это не остается верным, но каждая булева алгебра является подалгеброй булевой алгебры (хотя это не всегда особенно упоминаемое представление бесконечной Булевой алгебры).

Булеан множества образует абелеву группу, когда рассматривается вместе с операцией симметрической разности (с пустым множеством в качестве единицы и каждым множеством, обратным самому себе) и коммутативной полугруппой, когда рассматривается вместе с операцией пересечения. Можно, следовательно, показать (используя дистрибутивные законы), что булеан, рассматриваемый вместе с двумя этими операциями образует коммутативное кольцо.

Обозначения и []

В теории множеств — это множество всех функций из в . Поскольку можно определить как , то (т.е., ) — это множество всех функций из в . Сопоставляя функции из соответствующий прообраз из 1, мы увидим, что существует биекция между и , где каждая функция – это индикаторная функция того подмножества из , которому она сопоставлена. Следовательно, и могут рассматриваться идентичными в в теоретико-множественном смысле.

См. также[]

Advertisement