Булева алгебра, булева решётка — частично упорядоченное множество специального вида; дистрибутивная решётка, имеющая наибольший элемент — единицу булевой алгебры, наименьший элемент — нуль булевой алгебры, и содержащая единственное дополнение каждого своего элемента — элемент , удовлетворяющий соотношениям: введена Дж. Булем (1847, 1854) как аппарат символической логики; в последствии нашла широкое применение в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и других разделах математики.
Обозначения[]
Операции иногда обозначают , или что подчёркивает сходство логических и теоретико-множественных операций. Вместо иногда пишут: .=)
Аксиоматика булевой алгебры[]
Булева алгебра может определяться аксиоматически, как непустое множество с операциями удовлетворяющими пяти аксиомам:
- — коммутативность;
- — ассоциативность;
- дистрибутивность:
- ;
- ;
- — поглощение;
- — основные свойства дополнения.
При таком аксиоматическом подходе упорядочение не считается заданным заранее, а вводится условием:
- тогда и только тогда, когда
Возможны и другие аксиоматики, в которых всегда находит отражение аналогия между понятиями «множества», «события» и «высказывания».
Другие свойства[]
- Кроме основных операций булева алгебра допускает определение и других, среди которых особенно важна операция симметрической разности:
- также обозначается:
- Всякая булева алгебра есть булево кольцо с единицей относительно операции (сложение) и (умножение); любое кольцо с единицей можно рассматривать как булеву алгебру.
В логике[]
В основе применений булевой алгебры к логике лежит интерпретация элементов булевой алгебры как логических высказываний, при этом дополнение интерпретируется как отрицание высказывания, а операции — как дизъюнкция и конъюнкция.
В теории вероятностей[]
Булева алгебра используется в обосновании теории вероятностей: алгебра событий, изучаемая в теории вероятностей — это булева алгебра событий, при этом отношение означает, что событие влечёт событие ; нуль булевой алгебры — невозможное событие; единица булевой алгебры — достоверное событие.
