Величина

Величина — одно из основных математических понятий, которое развивалось вместе с развитием математики.

Аксиомы теории величин

Ещё в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчётливо сформулированы свойства величины, называемых теперь, для отличия от дальнейших обобщений, положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие величины является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объёма, массы и т. п. Каждый конкретный род величины связан с определённым способом сравнения физических тел или др. объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приёмы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объёму.

В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных величин (то есть в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объёмов) устанавливается отношение неравенства: две величины $a$ и $b$ одного и того же рода или совпадают $a = b$, или первая меньше второй ($a < b$), или вторая меньше первой ($a > b$). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объёмов и то, каким образом устанавливается для каждого рода величины смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин отношение неравенства $a < b$ и операция сложения $a+b = c$ удовлетворяют следующим аксиомам:

1) Каковы бы ни были $a$ и $b$, имеет место одно и только одно из трёх соотношений: или $a = b$, или $a < b$, или $a > b$

2) Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$ (транзитивность неравенства)

3) Для любых двух величин $a$ и $b$ существует однозначно определённая величина $c=a+b$

4) $a + b = b + a$ (коммутативность сложения)

5) $a+(b+c)=(a+b)+c$ (ассоциативность сложения)

6) $a+b>a$ (монотонность сложения)

7) Если $a > b$, то существует одна и только одна величина $c$, для которой $b+c=a$ (возможность вычитания)

8) Каковы бы ни были величины $a$ и натуральное число $n$, существует такая величина $b$, что $a=nb$ (возможность деления)

9) Каковы бы ни были величины $a$ и $b$, существует такое натуральное число $n$, что $a<nb$. Это аксиома называется аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда. На ней вместе с более элементарными аксиомами 1-8 основана теория измерения величин, развитая древнегреческими математиками.

Если взять какую-либо длину $l$ за единичную, то система $S_{l}$ всех длин, находящихся в рациональном отношении к $l$, удовлетворяет аксиомам 1-9. Существование несоизмеримых отрезков (открытие которых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система $S_{l}$ ещё не охватывает системы $S$ всех произвольных длин.

Чтобы получить вполне законченную теорию величин, к аксиомам 1-9 надо присоединить ещё ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:

10) Если последовательности величин $a_{1}<a_{2}<\ldots <b_{2}<b_{1}$ обладают тем свойством, что $b_{n}-a_{n}<c$ для любой величины $c$ при достаточно большом номере $n$, то существует единственная величина $x$, которая больше всех $a_n$ и меньше всех $b_n$.

Аксиомы 1-10 и определяют полностью современную теорию положительных скалярных величин. Если в системе положительных скалярных величин выбрать какую-либо величину $l$ за единицу измерения, то все остальные величины системы однозначно представляются в виде $a=\alpha l$, где $\alpha$ - положительное действительное число.

Величины произвольного знака

Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, могущих иметь два противоположных направления, и т. п. Величина естественно приводит к тому обобщению понятия скалярной величины, которое является основным в механике и физике. Система скалярных величин в этом понимании включает в себя, кроме положительной величины, нуль и отрицательную величину. Выбирая в такой системе какую-либо положительную величину $l$ за единицу измерения, выражают все остальные величины системы в виде $a=\alpha l$, где $\alpha$ - действительное число, положительное, отрицательное или равное нулю. Конечно, систему скалярных величин в этом понимании можно охарактеризовать и аксиоматически, не опираясь на понятие числа. Для этого пришлось бы несколько изменить аксиомы 1-10, которыми выше охарактеризована теория положительных скалярных величин.

Векторные велиичны

В более общем смысле слова величинами называют векторы, тензоры и другие «не скалярные величины». Такие величины можно складывать, но отношение неравенства ($a < b$) для них теряет смысл.

Неархимедовы величины

В некоторых более отвлечённых математических исследованиях играют известную роль «неархимедовы» величины, которые имеют с обычными скалярными величинами то общее, что для них сохраняются обычные свойства неравенств, но аксиома 9 не выполняется (для скалярных величин произвольного знака она сохраняется с оговоркой, что $b > 0$).

Действительные и переменные величины

Так как система действительных положительных чисел удовлетворяет перечисленным выше аксиомам 1-10, а система всех действительных чисел обладает всеми свойствами скалярных величин, то вполне законно сами действительные числа называть величинами. Это особенно принято при рассмотрении переменных величин. Если какая-либо конкретная величина, например длина $l$ нагреваемого металлического стержня, изменяется во времени, то меняется и измеряющее её число $x=l/l_{0}$ (при постоянной единице измерения $l_0$). Само это меняющееся во времени число $x$ принято называть переменной величиной и говорить, что $x$ принимает в какие-либо последовательные моменты времени $t_1, t_2, \ldots$ «числовые значения» $x_{1},x_{2},\ldots$. В традиционной математической терминологии говорить о «переменных числах» не принято. Однако логичнее такая точка зрения: числа, как и длины, площади, объёмы и т. п., являются частными случаями величины и, как всякие величины, могут быть и переменными, и постоянными. Столь же законно и рассмотрение переменных векторов, тензоров и т. п.

Литература

• Колмогоров А.Н. Величина. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М., БРЭ. С.112-113.

См. также

• длина
• площадь
• объём
• расстояние
• случайная величина
  • вероятность
  • момент
  • дисперсия
• скаляр
• вектор
• угол
• числоподобный
• физическая величина