Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.
Определение[]
Вероятностное пространство — это тройка , где
- — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
- — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .
Конечные вероятностные пространства[]
Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть суть конечное множество, содержащее элементов. В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство всех подмножеств . Его часто символически обозначают . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно , что объясняет обозначение. Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:
- ,
где , и - число элементарных исходов, принадлежащих . В частности вероятность любого элементарного события:
Пример[]
Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять и определить вероятность следующим образом:
