Вероятностное распределение событий

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Вероятностное распределение событий — одно из ключевых понятий эвентологии, которое выделяет ее в самостоятельное направление теории вероятностей; определяет и вероятностное распределение множества случайных событий, выбранных из алгебры эвентологического пространства, и вероятностное распределение случайного множества событий, возможными значениями которого служат подмножества этого множества событий, составленные из событий, наступающих при исходе Бытия.

Вероятностное распределение множества событий

Вероятностное распределение множества событий $\mathfrak{X} \subseteq \mathcal{F}$, выбранных из алгебры эвентологического пространства $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, — определяется как набор вероятностей $\{p(X), \ X \subseteq \mathfrak{X}\}$ событий-террасок

${\rm ter}(X) = \bigcap_{x \in X} x \bigcap_{x \in X^c} x^c, \ X \subseteq \mathfrak{X},$

порожденных множеством выбранных событий $\mathfrak{X}$, где

$p(X) = \mathbf{P}({\rm ter}(X)) = \mathbf{P}\left(\bigcap_{x \in X} x \bigcap_{x \in X^c} x^c\right), \ X \subseteq \mathfrak{X}.$

Поскольку события-терраски образуют разбиение

$\sum_{X \subseteq \mathfrak{X}}{\rm ter}(X) = \Omega$

пространства элементарных событий $\Omega\$, ясно, что

$\sum_{X \subseteq \mathfrak{X}} p(X) = 1$

— вероятности событий-террасок удовлетоворяют вероятностной нормировке.

Вероятностное распределение случайного множества событий

Вероятностное распределение случайного множества событий

$K : (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) \to \left(2^\mathfrak{X}, 2^{2^\mathfrak{X}}\right)$

под множеством событий $\mathfrak{X} \subseteq \mathcal{F}$, выбранных из алгебры эвентологического пространства $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, — определяется как набор вероятностей

$\{p(X), \ X \subseteq \mathfrak{X}\}$

событий $\{ \omega: \ K(\omega)=X \}$, которые для каждого $X \subseteq \mathfrak{X}$ совпадают с соответствующими событиями-террасками, порожденными множеством выбранных событий $\mathfrak{X}$:

$\{ \omega: \ K(\omega)=X \} = {\rm ter}(X),$

где

$p(X) = \mathbf{P}({\rm ter}(X)) = \mathbf{P}\left(K=X\right)$

— вероятность того, что $K\$ принимает сет-значение $X \subseteq \mathfrak{X}$.

Иначе говоря, событие $\{ \omega: \ K(\omega)=X \}$ означает, что наступают все события из $X \$ и не наступает ни одного события из $X^c = \mathfrak{X}-X$. Поскольку события-терраски образуют разбиение пространства элементарных событий $\Omega\$, ясно, что

$\sum_{X \subseteq \mathfrak{X}} p(X) = 1$

— вероятности событий $\{ \omega: \ K(\omega)=X \}$ удовлетоворяют соотношению вероятностной нормировки.

Плотность вероятностного распределения

Для любого вида вероятностного распределения событий $p(X)$ определена его плотность распределения событий, как сет-функция $dp(X)$, удовлетворяющая соотношениям

$p(X) = \sum_{Y \subseteq X} dp(Y), \ \ \ X \subseteq \mathfrak{X},\$

из которых следуют соотношения, полученные обращением Мёбиуса:

$dp(X) = \sum_{Y \subseteq X} (-1)^{|X-Y|}p(Y), \ \ \ X \subseteq \mathfrak{X}.\$

Если $\varphi(X)$ — плотность, то соответствующее ему вероятностное распределение событий обозначается

$\int \varphi(X) = \sum_{Y \subseteq X} \varphi(Y), \ \ \ X \subseteq \mathfrak{X}.\$

Таким образом, для любой плотности распределения событий $\varphi(X)$ и вероятностного распределения событий $p(X)$ операторы $d$ — «плотность-распределение» и $\int$ — «распределение-плотность» взаимнообратны:

$d \int \varphi(X) = \varphi(X), \ \ \ \int dp(X) = p(X).\$

См.также

• Эвентологическое распределение событий
• Ценностное распределение событий