Вещественные или действительные числа могут быть интуитивно определены как числа, описывающие положение точек на прямой. Формально строится как множество бесконечных десятичных дробей или пополнение множества рациональных чисел относительно "естественного" расстояния.
Множество вещественных чисел обозначается R и часто назвается вещественной прямой. Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле.
Примеры чисел[]
- Рациональные числа - 32, 36/29.
- Иррациональные числа — Пи, .
Определения[]
Существует несколько стандартых путей определения вещественных чисел:
Аксиоматическое определение[]
См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.
Вещественные числа можно определить как полное упорядоченное поле, то есть поле с отношением ≤ которое удовлетворяет следующим аксиомам:
- Отношение ≤ является полным порядком:
- Для любых a,b a≤b или b≤a;
- Если a≤b и b≤a, то a=b для любых a,b;
- Если a≤b и b≤c, то a≤c для любых a,b,c;
- Пусть A,B⊂ такие, что a≤b для любых a∈A и b∈B, тогда существует c∈ такое, что a≤c≤b для любых a∈A и b∈B.
- Порядок согласован со структурой поля:
- Если a≤b, то a+c≤b+c для любых a,b,c∈;
- Если 0≤a и 0≤b, то 0≤ab для любых a,b∈;
При этом для любого множества такого, что все для некоторого , существует точная верхняя грань, то есть число такое, что
- Если для некоторого , то .
Эти аксиомы задают вещественные числа единственным образом, т. е. любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны.
Пополнение рациональных чисел[]
Вещественные числа могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел по отношению к обычной метрике .
Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел . На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: и .
Две такие последовательности и считаются эквивалентными , если при .
Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.
Дедекиндовы сечения[]
Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел на два подмножества и такие, что:
- для любых и ;
- не имеет минимального элемента.
Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений, на которых некоторым образом определяются операции сложения и умножения. Например, вещественному числу соответствует дедекиндово сечение, определяемое или и и
Бесконечные десятичные дроби[]
Как правило, такое задание практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.
Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида , где являются десятичными цифрами, то есть .
Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где
Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.
Значение десятичной дроби формально задается суммой ряда .
Ссылки[]
- Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
- Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.
- Страница 0 - краткая статья
- Страница 1 - энциклопедическая статья
- Разное - на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
- Прошу вносить вашу информацию в «Вещественное число 1», чтобы сохранить ее