Гамма-распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Пусть $\xi$ — случайная величина, наблюдаемая в случайном эксперименте. Говорят, что $\xi$ имеет гамма-распределение с параметрами $\alpha >0,\lambda >0$ и пишут: $\xi \sqsubseteq \Gamma _{\alpha ,\lambda }$ , если $\xi$ имеет следующую плотность распределения: $f_{\xi }(x)=0,$ если $x\leq 0,$ и $f_{\xi }(x)=cx^{\lambda -1}e^{-\alpha x},$ если $x>0,$ где постоянная $c=\alpha ^{\lambda }/\Gamma (\lambda )$ . При целом $\lambda$ называется распределением Эрланга.

Здесь через $\Gamma (\lambda )$ обозначен интеграл

\Gamma (\lambda )=\int _{0}^{\infty }x^{\lambda -1}e^{-x}dx,

называемый гамма-функцией Эйлера; $\Gamma (k)=(k-1)!$ при целых положительных k, $\Gamma (1)=1$ . Замена в интеграле Пуассона даст $\Gamma(1/2) = \sqrt \pi$ .

Свойства[]

Пусть $\xi _1$ , …, $\xi_n$ независимы, и $\xi_i$ имеет гамма-распределение $\Gamma _{\alpha ,\lambda _{i}}$ , i=1…n . Тогда $S_{n}=\Sigma {\xi _{i}}$ , при i = 1…n, имеет распределение $\Gamma _{\alpha ,\Sigma _{1}^{n}\lambda _{i}}$ . Если $\xi$ имеет стандартное нормальное распределение, то $\xi^2$ имеет гамма-распределение $\Gamma _{1/2,1/2}$ .