Гамма-функция ( — гамма, третья буква греч. алфавита), Г-функция, Г-функция Эйлера, эйлеров интеграл 2-го рода, — одна из важнейших трансцендентных функций математического анализа, распространяющая понятие факториала на случай комплексных значений ; впервые введена Леонардом Эйлером (1729); определяется формулой
Если действительная часть числа положительна, то можно также пользоваться формулой
(эйлеров интеграл 2-го рода). Если натуральное число, то Интеграл
наз. неполной гамма-функцией. Основные соотношения для Г.-ф.:
В действительной области для и принимает знак на участках Для всех действительных справедливо неравенство
т. е. все ветви как , так и — выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения
с точностью до постоянного множителя.
Для положительных Г.-ф. имеет единственный минимум при , равный
График гамма-функции y=Г(x)
Локальные минимумы функции при образуют последовательность, стремящуюся к нулю. Г.-ф. представляет собой мероморфную функцию с простыми полюсами в точках Функция является целой функцией 1-го порядка максимального типа:
где — постоянная Эйлера. Эта формула послужила отправным пунктом для создания теории разложения целых функций в бесконечные произведения. При этом асимптотически
где
Через Г.-ф. выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Она играет важную роль в теории специальных функций — цилиндрических, гипергеометрических и др. Г.-ф. и её свойства используются также в аналитич. теории чисел.
Название «гамма-функция» и обозначение предложил Адриен Лежандр (1814).