Наука
Advertisement

Гамма-функция ( — гамма, третья буква греч. алфавита), Г-функция, Г-функция Эйлера, эйлеров интеграл 2-го рода, — одна из важнейших трансцендентных функций математического анализа, распространяющая понятие факториала на случай комплексных значений ; впервые введена Леонардом Эйлером (1729); определяется формулой

Если действительная часть числа положительна, то можно также пользоваться формулой

(эйлеров интеграл 2-го рода). Если натуральное число, то Интеграл

наз. неполной гамма-функцией. Основные соотношения для Г.-ф.:

(функциональное уравнение);
(формула дополнения), отсюда

где при (формула Стирлинга).

В действительной области для и принимает знак на участках Для всех действительных справедливо неравенство

т. е. все ветви как , так и — выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения

с точностью до постоянного множителя. Для положительных Г.-ф. имеет единственный минимум при , равный

Gamma-function-50

График гамма-функции y=Г(x)

Локальные минимумы функции при образуют последовательность, стремящуюся к нулю. Г.-ф. представляет собой мероморфную функцию с простыми полюсами в точках Функция является целой функцией 1-го порядка максимального типа:

где — постоянная Эйлера. Эта формула послужила отправным пунктом для создания теории разложения целых функций в бесконечные произведения. При этом асимптотически

где

Через Г.-ф. выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Она играет важную роль в теории специальных функций — цилиндрических, гипергеометрических и др. Г.-ф. и её свойства используются также в аналитич. теории чисел.

Название «гамма-функция» и обозначение предложил Адриен Лежандр (1814).

См.также[]

Advertisement