Гипербола (математика)

Гипербола (от др.-греч. ὑπερβολή, от ὑπερ — «верх» + βαλειν — «бросать») множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.

$|F_1M-F_2M|=2a,$ причем $|F_1F_2|=2c>2a>0.$

$a$— расстояние от центра гиперболы до одной из вершин

$b$— расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы

$c$— Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов

$d_1, d_2$— директрисы гиперболы

Определения

Коническое сечение

• Как множество точек плоскости

  

• Гипербола является результатом сечения прямого кругового конуса плоскостью, пересекающей обе его полости.

• Гипербола — геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная называется эксцентриситетом гиперболы.

Уравнение

• Каноническое уравнение гиперболы в декартовой системе

  

координат:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

• Уравнение функции обратной пропорциональной зависимости,

  

  графиком которой является гипербола, асимптотами которой являются оси координат:

$y=\frac{a}{x}.$

Эксцентриситет

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокального расстояния к расстоянию между вершинами.

$e=\frac{c}{a}$

Так как $c>a$, то $e>1$

Директрисы

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая её пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии $\frac{a}{e}$ называется директрисой гиперболы.

См. также

• Кривая второго порядка
• Эллипс
• Парабола
• Каустика
• Эллипсоид