Давление гравитационного поля и вакуума, космология

Вакуумное давление входит в космологическое уравнение состояния модели Лямбда-CDM, вытекающей из решения уравнений Эйнштейна. Но есть возможность определить давление вакуума, рассматривая геометрию пространства вокруг локальной гравитационной системы.

Согласно общей теории относительности гравитационная масса тел, помещенных в ограниченный объем, меньше суммы гравитационных масс этих тел, рассеянных на бесконечном расстоянии. Тело, более компактное, искривляет пространство в локальной области в большей степени, создавая, однако, меньшую гравитационную массу по сравнению с тем же количеством вещества, распределенным в большем объеме . Это явление объясняется появлением в гравитационной системе отрицательной энергии связи, приводящей к деформации вакуума и выделением положительной энергии в виде электромагнитных и гравитационных волн . Деформация вакуума при накоплении энергии определяется его упругими свойствами. Эти свойства гравитации учитываются при определении его давления.

Решение уравнений Эйнштейна для сферического источника гравитации

Рассматривается центрально-симметричное статическое гравитационное поле. Используются единицы измерения такие, что скорость света $c=8\pi G=1,$ где $G$ – гравитационная постоянная. В сферических координатах $x^{i} =(t,r,\theta ,\varphi )$ поле описывается метрикой

$ds^{2} =e^{\upsilon (r)} dt^{2} -e^{w(r)} dr^{2} -r^{2} (d\theta ^{2} +\mathop{\sin }\nolimits^{2} \theta d\varphi ^{2} ),$(1)

где $\nu ,w$ - функции радиальной координаты. Центрально-симметричный тензор энергии-импульса $T_i^i$ соответствует источнику гравитации, который создает этот тип поля. Решение уравнений Эйнштейна для сферического тела с радиусом $a$ приносит требуемые функции

$\nu =-w=\ln \left(1-\frac{1}{r} \int _{0}^{a} T_{1}^{1} y^{2} dy\right), r>a$(2)

$w=-\ln \left(1-\frac{1}{r} \int _{0}^{r} T_{1}^{1} y^{2} dy\right), r\le a,$(3)

где $T_1^1$ - плотность энергии, а переменная $y$ имеет размер длины. Для статического источника гравитации он эквивалентен плотности вещества $T_{1}^{1} =\rho.$

Во внешней области полученные функции соответствуют метрике Шварцшильда, поэтому значение

$M=4\pi \int _{0}^{a} \rho r^{2} dr$(4)

- гравитационная масса сферического тела с радиусом $a$. Интегрирование выполняется здесь в случае элемента объема $dV_{c} =4\pi r^{2} dr$, который соответствует координатной системе отсчета, находящейся на удалении от источника гравитации. В собственной системе отсчета этот элемент объема будет $dV_{p} =4\pi r^{2} e^{w/2}dr.$

Положительная величина $w$ означает, что гравитационная масса тел, расположенных в ограниченном объеме, меньше суммы отдельных гравитационных масс этих тел. Это интерпретируется как перенос энергии, как источника гравитационного поля, в вакуум, что проявляется в его сжатии.

Давление в пределах слабо гравитирующей сферы

Объем сферического тела в собственной системе координат получается путем интегрирования элементов $dV_{p}$ при (3) и составляет

$V_{int}^{p} (a)=\int _{0}^{a} 4\pi r^{2} e^{w/2} dr=\int _{0}^{a} 4\pi r^{2} \left(1-\frac{1}{3} \rho r^{2} \right)^{-1/2} dr.$(5)

Для малой пространственной кривизны внутри сферы, т. е. при $\rho a^{2} <<1,$ разложение выражения под интегралом в степенной ряд приносит

$V_{int}^{p} (a)=\frac{4\pi }{3} a^{3} +\frac{2\pi }{15} \rho a^{5}.$(6)

Поскольку плотность вещества постоянна, масса тела в этой системе отсчета или собственная масса будет

$M^{p} =\rho V_{int}^{p} (a).$(7)

Собственная энергия статического источника гравитации определяется как

$E^{p} =M^{p}.$(8)

Гравитационное воздействие на вакуум определяется как отношение разности между собственными энергиями двух сферических тел с одинаковой гравитационной массой к изменению собственного объема пространства в пределах сферы, вне которой гравитационное поле, создаваемое ими одинаково. При постоянных плотностях $\rho _{1}, \rho _{2}$ и радиусах $a_1,a_2$ ($a_1<a_2$) эта масса будет

$\Delta M^{p} =M_{1}^{p} -M_{2}^{p} =\frac{2\pi }{15} a_{1}^{6} \rho _{{\rm 1}}^{{\rm 2}} \left(\frac{1}{a_{1} } -\frac{1}{a_{2} } \right).$.

Различие собственных масс (7) двух тел записывается следующим образом:

$\Delta M^{p} =M_{1}^{p} -M_{2}^{p} =\frac{2\pi }{15} a_{1}^{6} \rho _{{\rm 1}}^{{\rm 2}} \left(\frac{1}{a_{1} } -\frac{1}{a_{2} } \right).$(9)

Из-за равенства гравитационных масс обоих тел создаваемое ими пространственное искривление в области $r>a_{2}$ будет одинаковым. Найдем разницу между объемами в собственной системе отсчета, которые устанавливаются в координатной системе отсчета условием $r\le a_{2}$. Объем для первого тела представляет собой сумму собственного объема этого тела и периферийной области $a_{1} <r\le a_{2}$, а именно,

$V_{1}^{p} =V_{int}^{p} (a_{1} )+V_{ext}^{p} (a_{1} ,a_{2} ),$(10)

где второй член задается выражением

$V_{ext}^{p} (a_{1} ,a_{2} )=\int _{a_{1} }^{a_{2} } 4\pi r^{2} e^{w/2} dr.$(11)

Разложение выражения под интегралом в степенной ряд, при условии $M/r<<1$ приносит

$V^p_{ext}\left(a_1,a_2\right)= \frac{4 }{3}\pi (a^3_2-a^3_1)+2\pi M(a^2_2-a^2_1).$

В результате объем (10) составит

$V^p_1= \frac{4 }{3} \pi a^3_2+ \frac{1 }{15}\pi {\rho }_1a^3_1(5a^2_2-3a^2_1).$

Поверхность $r=a_{2}$ ограничивает второе тело, собственный объем которого для слабого гравитационного поля согласно (6) есть

$V^p_2= \frac{4 }{3} \pi a^3_2+ \frac{2 }{15} \pi {\rho }_2a^5_2.$.

Разница между собственными объемами, ограниченными сферой с радиусом $a_2$ в координатной системе отсчета, составит

$\Delta V^{p} =V_{1}^{p} -V_{2}^{p} =\frac{1}{5} \pi \rho _{1} a_{1}^{3} (a_{2}^{2} -a_{1}^{2} ).$(12)

Определение отношения изменения собственной энергии сферического тела (8)

$\Delta E^{p} =\Delta M^{p}$

к изменению его объема для малого $\Delta a=a_{2} -a_{1}$ при сохранении его гравитационной массы с учетом (9) приводит к следующему результату

$\ \wp =\frac{\Delta E^{p} }{\Delta V^{p} } =\frac{1}{3} \rho .$(13)

При условии, что $\wp$ соответствует давлению, это выражение совпадает с уравнением состояния фотонного газа . Положительное давление гравитационного поля характеризует гравитационное воздействие вещества на вакуум, содержащееся в нем. Соответственно, давление поля на вакуум компенсируется давлением вакуума:

$p_{v} =-\wp,$(14)

и это можно считать средним вакуумным давлением в случае слабой гравитации внутри статической сферы.

Давление при изотропном источнике гравитации

Рассматривается произвольное пространство-время, содержащее источник гравитации с плотностью $\rho$, описываемый метрикой

$ds^{2} =g_{ij} dx^{i} dx^{j}.$

Выделяется небольшая область, в которой метрические коэффициенты и плотность можно считать постоянными в первом приближении, давление изотропно и граница которой является сферой в собственной системе отсчета. Гравитация, создаваемая этим шаром, описывается метрикой (1). Метрические коэффициенты пространства-времени без источника гравитации в этой сфере будут несколько отличаться от $g_{ij}.$ Переход к локальной инерциальной системе с началом в точке $x_{0}^{k}$ производится для измененной метрики с использованием преобразования

${x'}^k=x^k+ \frac{1 }{2}{\left({\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{k}}_{\mathrm{ij}}\right)}_{x^i=x^i_0}x^ix^j$

где $\Gamma^k_{ij}$ символы Кристоффеля. В это локально плоское в первом приближении пространство мы помещаем отсутствующий источник гравитации в пустую сферу. Это будет соответствовать условиям, при которых было получено давление гравитационного поля (13). В случае статического пространства-времени соответствующее давление вакуума определяется согласно (14) и будет

$p_{v} =-\frac{1}{3} \rho .$(15)

Ландау и Лифшиц писали об уравнении (13): «Это предельное уравнение состояния выведено здесь в предположении электромагнитного взаимодействия между частицами. Мы будем считать, что оно остается справедливым для других существующих в природе взаимодействий между частицами, хотя доказательства этого предположения в настоящее время не существует». В рассматриваемом случае оно найдено для гравитационного поля, источник которого локально изотропный. Передача полученного результата для слабо гравитирующей сферы в произвольную точку пространства-времени подразумевает соблюдение сильного принципа эквивалентности. Предполагается, что рассмотренное давление вакуума, уравновешивающее воздействие гравитации на него в статическом пространстве-времени, само является источником гравитации.

Космологическая модель Лямбда-CDM

В модели Лямбда-CDM источник гравитации изотропен и статичен в сопутствующих координатах, которые являются локально геодезической системой, т. е. он отвечает условиям получения уравнения состояния (15). Однако Вселенная расширяется и может ускоряться , что означает $-p_{v} >\wp$. Однако относительная скорость расширения Вселенной равна параметру Хаббла, который в настоящее время мал, и полученное уравнение состояния соответствует ей. Стандартная космологическая модель предполагает существование некоторой положительной плотности энергии или темной энергии. Одна из моделей, объясняющих природу тёмной энергии, наличие ненулевой космологическая константы $\Lambda,$ входящей в уравнения Эйнштейна, которая может быть истолкована как энергия вакуума с плотностью $\rho _{\Lambda }$ и давлением $p _{\Lambda }=-\rho _{\Lambda }.$ Однако в квантовой теории не удалось найти решения, соответствующие ее величине. Другое объяснение темной энергии это существование некоторых частиц, которые ее составляют, образуя плотность $\rho_g$. Поэтому давление среды, создаваемое плотностью, (15) с учетом плотности энергии материи $\rho_m$ и релятивистских частиц $\rho _{rel}$ может быть записано в виде

$p_{v} =-\frac{1}{3} (\rho _{\Lambda }+ \rho_g +\rho _{m} +\rho_{rel} ).$(16)

Это уравнение является космологическим уравнением состояния.

По данным WMAP наблюдаемая Вселенная является плоской . Подстановка давления (16) в уравнения Фридмана при масштабном коэффициенте длины $R$ в случае плоского пространства

$\rho =3{\dot{R}}^2/R^2,$

$p_v+p_\Lambda =-2\ddot{R}/R-{\dot{R}}^2/R^2$

приносит

$\rho _{\Lambda } =2\frac{\ddot{R}}{R}.$(17)

Параметр замедления

$q=-\frac{\ddot{R}R}{\dot{R}}^2$

выражается через параметр плотности темной энергии, связанной с постоянной $\Lambda$ как

$q=-\frac{3}{2} {\Omega}_{\Lambda}=-\frac{3}{2}\frac{\rho _{\Lambda }}{\rho}.$(18)

Согласно данным, полученным с помощью космического аппарата Планк , суммарный параметр плотности темной энергии

${\Omega}_{de}= {\Omega}_{\Lambda}+{\Omega}_g$(19)

составляет 0.683. Если темная энергия связана только с космологической константой (${\Omega}_g=0$), то это дает параметр замедления в настоящюю космологическую эпоху $q_{0}=-1.024.$ На основании анализа уменьшения светимости сверхновых типа Ia в 1998 году был сделан вывод об ускоряющемся расширении Вселенной c параметром замедления $q_{0} =-1\pm 0.4.$ Этот результат был получен на основе модели

$q_0=0.5\Omega_m-\Omega_\Lambda$ (20)

и в предположении наличия гипотетических частиц с отрицательной плотностью энергии. Некоторые оценки дают нулевую ${\Omega}_\Lambda,$ что соответствует постоянной скорости расширения Вселенной.

См. также

• Космологические_модели
• Общая_теория_относительности