Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).
Основные сведения[]
Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. Так, к элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.
Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.
Аксиоматика[]
Задача аксиоматизации элементарной геометрии состоит в построении системы аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.
В «Началах» Евклида была дана следующая система аксиом:
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Эти система была достаточна для того чтобы один математик понял другого, но в доказательствах неявно использовались другие утверждения. В частности теорема Паша. Также из этой системы не следует существование треугольника с заданными сторонами удовлетворяющих неравенству треугольника .
В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром[en], Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.
Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:
- аксиоматика Александрова
- аксиоматика Биргофа, содержащая всего 4 аксиомы, но использующая вещественные числа как готовое понятие.
- аксиоматика Тарского
Системы обозначений[]
Существует несколько конкурирующих систем обозначений.
- Точки обычно обозначаются прописными латинскими буквами .
- Прямые прописным обычно обозначаются строчными латинскими буквами .
- Расстояние между точками и обычно обозначается или .
- Отрезок между точками и обычно обозначается или .
- Луч из точки через точку обычно обозначается или .
- Прямая через точки и обычно обозначается или .
- Треугольник с вершинами , и обычно обозначается или .
- Площадь фигуры обычно обозначается или .
- Угол образованных лучами и обычно обозначается .
- Величина угла обычно обозначается .
- При этом для краткости величина угла часто обозначается строчной греческой буквой .
См. также[]
- Аксиоматика Александрова
- Аксиоматика Гильберта
- Геометрия Лобачевского
- Геометрия Римана
- Неевклидова геометрия
- Аналитическая геометрия
Литература[]
- Д. Гильберт Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. — Л.: «Сеятель», 1923—152 с.
- Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1. — М.: Учпедгиз, 1948; Ч. 2. — М.: Учпедгиз, 1951.
- Математический энциклопедический словарь, — М.: «Советская энциклопедия», 1988
- Обухова А. И., История элементарной геометрии
- Евклидова геометрия // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
|
- Страница 0 - краткая статья
- Страница 1 - энциклопедическая статья
- Разное - на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
- Прошу вносить вашу информацию в «Евклидова геометрия 1», чтобы сохранить ее