Евклидово пространство

Каждая точка в трехмерном евклидовом пространстве определяется тремя координатами.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) (в математике), пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В более общем смысле Евкли́дово простра́нство называется n-мepное векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные координаты (декартовы) так, что метрика его будет определена следующим образом: если точка М имеет координаты (х1, х2,..., xn), а точка М* — координаты (y1*, y2*,..., yn*), то расстояние между этими точками:

$\rho (x,y)=\|x-y\|={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\dots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}$,

где $x=(x_1,x_2,\dots, x_n)$ и $y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$.

В современном понимании, в более общем смысле, оно может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно $n$-мерное евклидово пространство обозначается $\mathbb{E}^n$, хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение $\R^n$.

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство $\R^n$ с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

$\|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}$,

в простейшем случае (евклидова норма):

$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$

где $x=(x_1,x_2,\dots, x_n)$ (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть $\R^n$ с метрикой, введённой по формуле:

$\rho (x,y)=\|x-y\|={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\dots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^{2}}}$,

где $x=(x_1,x_2,\dots, x_n)$ и $y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$.

3. Вообще любое предгильбертово пространство (пространство со скалярным произведением $\langle x, x\rangle$).

Связанные определения

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

• Гильбертово пространство
• Псевдоевклидово пространство

См. также

• Евклидова геометрия
• Математика цветного зрения
• Линейное уравнение цветного зрения и цветового пространства