Зависимость событий, отсутствие независимости событий в пределах данного множества событий — относительное понятие, которое определяется ивентологическим распределением данного множества событий ; иначе говоря, определяется вероятностью
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
X
⊆
F
{\displaystyle \mathfrak{X} \subseteq \mathcal{F}}
алгебры
F
{\displaystyle \mathcal{F}}
ивентологического пространства
(
Ω
,
F
,
P
)
.
{\displaystyle (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}).}
Зависимость множества событий [ ] Подмножество событий
X
⊆
X
{\displaystyle X \subseteq \mathfrak{X}}
независимым относительно вероятности
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
P
(
⋂
x
∈
X
x
)
=
∏
x
∈
X
P
(
x
)
,
{\displaystyle
\mathbf{P}\left( \bigcap_{x \in X} x \right) = \prod_{x \in X}
\mathbf{P}(x),
}
иначе множество событий
X
⊆
X
{\displaystyle X \subseteq \mathfrak{X}}
зависимым относительно вероятности
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
Частичная зависимость множества событий [ ] Множество событий
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
частично зависимым относительно вероятности
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
X
⊆
X
{\displaystyle X \subseteq \mathfrak{X}}
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
Тотальная зависимость множества событий [ ] Множество событий
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
тотально независимым относительно вероятности
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
X
⊆
X
{\displaystyle X \subseteq \mathfrak{X}}
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
P
i
n
d
{\displaystyle \mathbf{P}^{\mathrm{ind}}}
Множество событий
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
тотально зависимым относительно вероятности
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
X
⊆
X
{\displaystyle X \subseteq \mathfrak{X}}
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
P
d
e
p
{\displaystyle \mathbf{P}^{\mathrm{dep}}}
k-го рода зависимость множества событий [ ] Подмножество событий
X
⊆
X
{\displaystyle X \subseteq \mathfrak{X}}
независимостью
k
{\displaystyle k}
k
=
1
,
…
,
6
{\displaystyle k=1,\ldots,6}
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
, если для вероятности события-терраски
k
{\displaystyle k}
t
(
k
)
(
X
)
{\displaystyle t^{(k)}(X)}
P
(
t
(
k
)
(
X
)
)
=
P
i
n
d
(
t
(
k
)
(
X
)
)
,
{\displaystyle
\mathbf{P}\left( t^{(k)}(X) \right) =
\mathbf{P}^{\mathrm{ind}}\left( t^{(k)}(X) \right),
}
где
t
(
k
)
(
X
)
=
{
t
e
r
(
X
)
=
⋂
x
∈
X
x
⋂
x
∈
X
c
x
c
,
k
=
1
,
t
e
r
X
=
⋂
x
∈
X
x
,
k
=
2
,
t
e
r
(
X
)
=
⋂
x
∈
X
c
x
c
,
k
=
3
,
T
e
r
(
X
)
=
⋃
x
∈
X
x
⋃
x
∈
X
c
x
c
,
k
=
4
,
T
e
r
X
=
⋃
x
∈
X
x
,
k
=
5
,
T
e
r
(
X
)
=
⋃
x
∈
X
c
x
c
,
k
=
6
{\displaystyle
t^{(k)}(X) =
\begin{cases}\displaystyle \mathrm{ter}(X) = \bigcap_{x
\in X} x \bigcap_{x \in X^c} x^c, & k=1,\\[10pt]%
\displaystyle \mathrm{ter}_X = \bigcap_{x \in X} x, & k=2,\\[10pt]%
\displaystyle \mathrm{ter}(X) = \bigcap_{x \in X^c} x^c, & k=3,\\[10pt]%
\displaystyle \mathrm{Ter}(X) = \bigcup_{x \in X} x \bigcup_{x \in X^c} x^c, & k=4,\\[10pt]%
\displaystyle \mathrm{Ter}_X = \bigcup_{x \in X} x, & k=5,\\[10pt]%
\displaystyle \mathrm{Ter}(X) = \bigcup_{x \in X^c} x^c, & k=6%
\end{cases}
}
— событие-терраска
k
{\displaystyle k}
P
i
n
d
(
t
(
k
)
(
X
)
)
=
{
∏
x
∈
X
P
(
x
)
∏
x
∈
X
c
P
(
x
c
)
,
k
=
1
,
∏
x
∈
X
P
(
x
)
,
k
=
2
,
∏
x
∈
X
c
P
(
x
c
)
,
k
=
3
,
1
−
∏
x
∈
X
P
(
x
c
)
∏
x
∈
X
c
P
(
x
)
,
k
=
4
,
1
−
∏
x
∈
X
P
(
x
c
)
,
k
=
5
,
1
−
∏
x
∈
X
c
P
(
x
)
,
k
=
6
{\displaystyle
\mathbf{P}^{\mathrm{ind}}\left(t^{(k)}(X)\right) =
\begin{cases}
\displaystyle \prod_{x \in X} \mathbf{P}(x) \prod_{x \in X^c} \mathbf{P}(x^c), & k=1,\\[10pt]%
\displaystyle \prod_{x \in X} \mathbf{P}(x), & k=2,\\[10pt]%
\displaystyle \prod_{x \in X^c} \mathbf{P}(x^c), & k=3,\\[10pt]%
\displaystyle 1-\prod_{x \in X} \mathbf{P}(x^c) \prod_{x \in X^c} \mathbf{P}(x), & k=4,\\[10pt]%
\displaystyle 1-\prod_{x \in X} \mathbf{P}(x^c), & k=5,\\[10pt]%
\displaystyle 1-\prod_{x \in X^c} \mathbf{P}(x), & k=6%
\end{cases}
}
— его вероятность, обеспечивающая тотальную независимость множеству событий
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
Мерами k-го рода зависимостей множества событий относительно вероятности
P
{\displaystyle \mathbf{P}}
X
{\displaystyle \mathfrak{X}}
k
{\displaystyle k}
ковариации событий :
K
o
v
(
k
)
(
X
)
=
P
(
t
(
k
)
(
X
)
)
−
P
i
n
d
(
t
(
k
)
(
X
)
)
,
{\displaystyle \mathrm{Kov}^{(k)}(X) =
\mathbf{P}(t^{(k)}(X))-\mathbf{P}^{\mathrm{ind}}(t^{(k)}(X)),
}
или соответствующие
k
{\displaystyle k}
Фреше-корреляции событий
K
o
r
(
k
)
(
X
)
{\displaystyle \mathrm{Kor}^{(k)}(X)}
K
o
v
(
k
)
(
X
)
=
{
K
o
v
(
X
)
,
k
=
1
,
K
o
v
X
,
k
=
2
,
K
o
v
X
,
k
=
3
,
K
o
v
∪
(
X
)
,
k
=
4
,
K
o
v
X
∪
,
k
=
5
,
K
o
v
∪
X
,
k
=
6
;
{\displaystyle \mathrm{Kov}^{(k)}(X) = \begin{cases}\mathrm{Kov}(X), & k=1,\\ \mathrm{Kov}_X, & k=2,\\ \mathrm{Kov}^X, & k=3,\\ \mathrm{Kov}^{\cup}(X), & k=4,\\ \mathrm{Kov}^{\cup}_X, & k=5,\\ \mathrm{Kov}_{\cup}^X, & k=6;\end{cases}}
K
o
v
(
k
)
(
X
)
=
{
K
o
r
(
X
)
,
k
=
1
,
K
o
r
X
,
k
=
2
,
K
o
r
X
,
k
=
3
,
K
o
r
∪
(
X
)
,
k
=
4
,
K
o
r
X
∪
,
k
=
5
,
K
o
r
∪
X
,
k
=
6.
{\displaystyle \mathrm{Kov}^{(k)}(X) = \begin{cases}\mathrm{Kor}(X), & k=1,\\ \mathrm{Kor}_X, & k=2,\\ \mathrm{Kor}^X, & k=3,\\ \mathrm{Kor}^{\cup}(X), & k=4,\\ \mathrm{Kor}^{\cup}_X, & k=5,\\ \mathrm{Kor}_{\cup}^X, & k=6.\end{cases}}
Ивентологические копулы вложенных событий [ ]
c
o
p
u
l
a
X
=
min
x
∈
X
P
(
x
)
,
{\displaystyle \mathrm{copula}_X=\min_{x \in X}\mathbf{P}(x),}
c
o
p
u
l
a
(
X
)
=
max
{
0
,
min
x
∈
X
P
(
x
)
−
max
x
∈
X
c
P
(
x
)
}
,
{\displaystyle \mathrm{copula}(X)=\max \Big\{ 0, \ \min_{x \in X}\mathbf{P}(x) -\max_{x \in X^c}\mathbf{P}(x)\Big\},}
c
o
p
u
l
a
X
=
1
−
max
x
∈
X
c
P
(
x
)
,
{\displaystyle \mathrm{copula}^X=1-\max_{x \in X^c}\mathbf{P}(x),}
C
o
p
u
l
a
X
=
max
x
∈
X
P
(
x
)
,
{\displaystyle \mathrm{Copula}_X=\max_{x \in X}\mathbf{P}(x),}
C
o
p
u
l
a
(
X
)
=
min
{
1
,
max
x
∈
X
c
P
(
x
c
)
+
max
x
∈
X
c
P
(
x
)
}
,
{\displaystyle \mathrm{Copula}(X)=\min \Big\{ 1, \ \max_{x \in X^c}\mathbf{P}(x^c)+\max_{x \in X^c}\mathbf{P}(x)\Big\},}
C
o
p
u
l
a
X
=
1
−
min
x
∈
X
c
P
(
x
)
,
{\displaystyle \mathrm{Copula}^X=1-\min_{x \in X^c}\mathbf{P}(x),}
Ивентологические копулы непересекающихся событий [ ]
c
o
p
u
l
a
X
=
{
1
,
X
=
∅
;
P
(
x
)
,
X
=
{
x
}
,
x
∈
X
0
,
|
X
|
>
1.
{\displaystyle \mathfrak{} \mathrm{copula}_X=\begin{cases}1, & X=\emptyset;\\
\mathbf{P}(x), & X=\{x\}, \ x \in \mathfrak{X}\\
0, & |X|>1.
\end{cases}}
c
o
p
u
l
a
(
X
)
=
{
1
−
∑
x
∈
X
P
(
x
)
,
X
=
∅
;
P
(
x
)
,
X
=
{
x
}
,
x
∈
X
0
,
|
X
|
>
1.
{\displaystyle \mathfrak{} \mathrm{copula}(X)=\begin{cases}1-\sum_{x \in X}\mathbf{P}(x), & X=\emptyset;\\
\mathbf{P}(x), & X=\{x\}, \ x \in \mathfrak{X}\\
0, & |X|>1.
\end{cases}}
c
o
p
u
l
a
X
=
1
−
∑
x
∈
X
c
P
(
x
)
,
{\displaystyle \mathrm{copula}^X=1-\sum_{x \in X^c}\mathbf{P}(x),}
C
o
p
u
l
a
X
=
∑
x
∈
X
P
(
x
)
,
{\displaystyle \mathrm{Copula}_X=\sum_{x \in X}\mathbf{P}(x),}
c
o
p
u
l
a
(
X
)
=
{
0
,
X
=
X
;
P
(
x
)
,
X
=
{
x
}
c
,
x
∈
X
1
,
|
X
|
<
|
X
|
−
1.
{\displaystyle \mathfrak{} \mathrm{copula}(X)=\begin{cases}0, & X=\mathfrak{X};\\
\mathbf{P}(x), & X=\{x\}^c, \ x \in \mathfrak{X}\\
1, & |X| < |\mathfrak{X}|-1.
\end{cases}}
C
o
p
u
l
a
X
=
{
0
,
X
=
X
;
P
(
x
)
,
X
=
{
x
}
c
,
x
∈
X
1
,
|
X
|
<
|
X
|
−
1.
{\displaystyle \mathfrak{} \mathrm{Copula}^X=\begin{cases}0, & X=\mathfrak{X};\\
\mathbf{P}(x), & X=\{x\}^c, \ x \in \mathfrak{X}\\
1, & |X| < |\mathfrak{X}|-1.
\end{cases}}
См.также [ ] 
![{\displaystyle t^{(k)}(X)={\begin{cases}\displaystyle \mathrm {ter} (X)=\bigcap _{x\in X}x\bigcap _{x\in X^{c}}x^{c},&k=1,\\[10pt]\%\displaystyle \mathrm {ter} _{X}=\bigcap _{x\in X}x,&k=2,\\[10pt]\%\displaystyle \mathrm {ter} (X)=\bigcap _{x\in X^{c}}x^{c},&k=3,\\[10pt]\%\displaystyle \mathrm {Ter} (X)=\bigcup _{x\in X}x\bigcup _{x\in X^{c}}x^{c},&k=4,\\[10pt]\%\displaystyle \mathrm {Ter} _{X}=\bigcup _{x\in X}x,&k=5,\\[10pt]\%\displaystyle \mathrm {Ter} (X)=\bigcup _{x\in X^{c}}x^{c},&k=6\%\end{cases}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/3fb922436b03a2d4560fc64fc8b5c66e8c66d3f5)
![{\displaystyle \mathbf {P} ^{\mathrm {ind} }\left(t^{(k)}(X)\right)={\begin{cases}\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbf {P} (x)\prod _{x\in X^{c}}\mathbf {P} (x^{c}),&k=1,\\[10pt]\%\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbf {P} (x),&k=2,\\[10pt]\%\displaystyle \prod _{x\in X^{c}}\mathbf {P} (x^{c}),&k=3,\\[10pt]\%\displaystyle 1-\prod _{x\in X}\mathbf {P} (x^{c})\prod _{x\in X^{c}}\mathbf {P} (x),&k=4,\\[10pt]\%\displaystyle 1-\prod _{x\in X}\mathbf {P} (x^{c}),&k=5,\\[10pt]\%\displaystyle 1-\prod _{x\in X^{c}}\mathbf {P} (x),&k=6\%\end{cases}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/9cd5f851110af59ded0a0f1a6341f10d5b3943a0)
