Задачи ранжирования договоров страхования жизни методом двудольных множеств событий

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Cистема договоров СЖ представляет собой сложную систему, а сами контракты - её элементы. Сложная система - совокупность большого числа элементов, обладающая сложной структурой зависимостей между ними. Поведение всей системы определяется поведением каждого её элемента. Любой страховой договор может быть представим в виде множества людей, с которыми данный договор был заключён. Очевидно, что любой страховой контракт может характеризоваться показателями финансового и социального положения людей, заключивших его.

Довольно часто на практике встречается ситуация, когда поведение сложной системы характеризуется разнотипными данными, одни из которых являются числовыми, а другие - множественными. Трудность изучения подобных систем обусловлена большой размерностью и сложной структурой зависимостей между элементами, а также разнотипностью данных, описывающих их поведение. Предлагается применить эвентологический подход О.Ю.Воробьёва к изучению систем и рассматривать системы как системы событий, лежащих в основе их поведения.

И.В. Барановой был предложен метод двудольных множеств событий, позволяющий решать различные задачи системного анализа сложных систем, поведение которых описывается числовым и множественными данными. Основная идея метода заключается в представлении любой сложной системы с помощью двудольной эвентологической модели, в которой каждый элемент системы характеризуется двудольным множеством событий: его первая доля определяется случайными величинами, а вторая - случайными множествами событий. А затем анализ поведения элементов системы сводится к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий. Сравнение эвентологических распределений двудольных множеств событий предлагается осуществлять с помощью вероятности сет–операции симметрической разности по Минковскому двудольных множеств событий.

Страхование жизни – один из самых распространённых видов страхования. Во многих развитых странах СЖ является сложной финансовой и социальной услугой, заключающейся в обеспечении материального благополучия страхователя в будущем. Смешанное СЖ – страхование с накопительной составляющей, которая выплачивается после окончания срока договора (состоит из срочного СЖ и страхования на дожитие). Также в долгосрочный договор СЖ заложена возможность досрочного расторжения. Страхователи расторгают договора страхования в зависимости от различных обстоятельств. Ипотечное СЖ – страхование жизни, трудоспособности и риска утраты права собственности на жильё. Как правило, такой договор заключается на весь срок ипотеки, разрыв его практически невозможен.

Страховые обязательства компании с клиентом строятся на принципах платёжеспособности, долгосрочности, стабильности и оформляются договором. Значит, перед страховой компанией стоит задача: проранжировать всё предлагаемые виды страхования по указанным признакам, т.е. определить какие из них лучше, а какие хуже отвечают данным признакам.

Договор является наилучшим с точки зрения его срока, разрыва и стоимости, все другие приближены к нему. Каждый договор предлагается описывать с помощью показателей финансового состояния и социального положения людей, заключивших его. Причем одна часть данных показателей является числовыми, а вторая - множественными. Поэтому систему договоров можно представить с помощью двудольной эвентологической модели, в которой поведение каждого договора описывается с помощью двудольного множества событий, первая доля которого определяется числовыми, а вторая - множественными показателями.

Решение задачи ранжирования страховых договоров с помощью метода двудольных множеств событий будет заключаться в следующем: будет находиться расстояние между каждым страховым договором и идеальным <<наилучшим>> с помощью нахождения вероятностей сет-операции симметрической разности по Минковскому между эвентологическими распределениями соответствующих им двудольных множеств событий, а ранжирование будет производиться на основе полученных значений расстояний.

Двудольное множество случайных элементов.

В ситуации, когда поведение каждого элемента сложной системы характеризуется данными, одна часть которых является числовой, а другая - множественной, объект, порождающий данную статистику, было предложено представить как объединение двух долей: случайных величин и случайных множеств событий.

Первая доля - это случайные величины $\xi$, вторая - случайные множества событий $\mathbf{K}$. Пусть $A$ - множество индексов случайных величин, $B$ -- множество индексов случайных множеств. Тогда множество случайных величин $\mathbf{\xi}=\{\xi_a,a\in{A}\}$, а множество случайных событий $\mathbf{K}=\{K_\beta,\beta\in{B}\}$.

Определениее Множество случайных элементов $\{\mathbf{\xi,K}\}$, представимое в виде объединения двух этих долей, будем называть двудольным множеством случайных элементов. Двудольное множество случайных элементов представимо в следующем виде: $\{\mathbf{\xi,K}\}=\mathbf{\xi}\cup\mathbf{K}=\{\xi_a,a\in{A}, K_\beta,\beta\in{B}\}$.

Двудольное множество случайных событий.

Пусть $\{\xi_a,a\in{A}\}$ являются случайными величинами с конечным множеством возможных значений. Было предложено каждой случайной величине $\xi_a,a\in{A}$ поставить в соответствие множество событий $\mathcal{Y}_a$ следующим образом: $\xi_a\Rightarrow\mathcal{Y}_a=\{\mathcal{Y}_a(r_a),r_a\in{R_a}\}.$ Здесь событие $\mathcal{Y}_a(r_a)=\{\xi_a\leq{r_a}\}=\{\omega:\xi_a(\omega)\leq{r_a}\}$ - это событие из определения функции распределения случайной величины $\xi_a:F(r_a)=P(\{\xi_a\leq{r_a}\})$.

Всей первой доле - случайным величинам - было поставлено в соответствие множество событий $\mathcal Y$, то есть $\xi\Rightarrow\mathcal{Y}=\sum_{a\in A}\mathcal{Y}_a$. Каждому случайному множеству событий $\mathbf{K}_\beta,\beta\in B$ было поставлено в соответствие множество случайных событий $\mathfrak{X}_\beta:\mathbf{K}_\beta\Leftrightarrow\mathfrak{X}_\beta$. Второй доле - случайным множествам было поставлено в соответствие множество всех возможных случайных событий \mathfrak{X} следующим образом: $\mathbf{K}\Leftrightarrow\mathfrak{X}=\sum_{\beta\in B}\mathfrak{X} _\beta,\beta\in B$.

Аналогично тому, как случайному множеству событий $\mathbf{K}$ в эвентологии О.Ю.Воробьёвым было поставлено в соответствие множество случайных событий $\mathfrak{X},$, И.В.Барановой было предложено двудольному множеству случайных элементов $\{\xi,\mathbf{K}\}$ поставить в соответствие двудольное множество случайных событий: $\{\xi,\mathbf{K}\}\Rightarrow\{\mathcal{Y},\mathfrak{X}\}$.

Определение Двудольное множество случайных событий представляет собой объединение двух множеств - множества событий, которое определяется случайными величинами, и множества событий, которое определяется случайными множествами событий: $\{\mathcal{Y},\mathfrak{X}\}=\{\mathcal{Y}_a,\mathfrak{X}_\beta, a\in A,\beta\in B\}$.

Двудольная эвентологическая модель сложных систем.

Определение Двудольной эвентологической моделью сложной системы называется такая система, для которой поведение каждого элемента характеризуется двудольным множеством случайных событий $\{\mathcal{Y}, \mathfrak{X}\}$, его первая доля $\mathcal Y$ определяется случайными величинами $\mathbf{\xi}$, а вторая доля $\mathfrak{X}$ - случайными множествами событий $\mathbf{K}.$