Законы Кеплера

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%8B_%D0%9A%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0#.D0.A2.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.B8.D0.B9_.D0.B7.D0.B0.D0.BA.D0.BE.D0.BD_.D0.9A.D0.B5.D0.BF.D0.BB.D0.B5.D1.80.D0.B0_.28.D0.B3.D0.B0.D1.80.D0.BC.D0.BE.D0.BD.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B9_.D0.B7.D0.B0.D0.BA.D0.BE.D0.BD.29

---

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом $m_p$/$m_S$ → 0, где $m_p$, $m_S$ — массы планеты и Солнца.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Файл:Kepler1.gif

Первый закон Кеплера.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением $e=\frac{c}{a}$, где $c$ — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), ${a}$ — большая полуось. Величина $e$ называется эксцентриситетом эллипса. При $c = 0$ и $e = 0$ эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера   

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму

$\mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\hat {\mathbf {r} }}.$

Вспомним, что в полярных координатах

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},$

${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.$

В координатной форме запишем

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),$

$r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.$

Подставляя $\ddot{\theta}$ и $\dot r$ во второе уравнение, получим

$r{d{\dot {\theta }} \over dt}+2{dr \over dt}{\dot {\theta }}=0,$

которое упрощается

${\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}.$

После интегрирования запишем выражение

$\ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+\ln \ell ,$

$\ln \ell =\ln r^{2}+\ln {\dot {\theta }},$

$\ell =r^{2}{\dot {\theta }},$

для некоторой константы $\ell$, которая является удельным угловым моментом ($\ell =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$).Пусть

$r={\frac {1}{u}},$

${\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},$

${\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.$

Уравнение движения в направлении $\hat{\mathbf{r}}$ становится равным

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right).$

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

$f\left({1 \over u}\right)=f(r)=-\,{GM \over r^{2}}=-GMu^{2}$

где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.

В результате

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}.$

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

$u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right].$

для произвольных констант интегрирования e и θ₀.

Заменяя u на 1/r и полагая θ₀ = 0, получим:

$r={1 \over u}={\frac {\ell ^{2}/GM}{1+e\cos \theta }}.$

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Файл:Kepler2.gif

Второй закон Кеплера.

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Применительное к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и апогелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя апогелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера   

По определению угловой момент $\mathbf{L}$ точечной частицы с массой $m$ и скоростью $\mathbf{v}$ записывается в виде:

$\mathbf {L} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m\mathbf {v} )$.

где $\mathbf{r}$ — радиус-вектор частицы а $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$ — импульс частицы.

По определению

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$.

В результате мы имеем

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$.

Продифференцируем обе части уравнения по времени

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )+\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )+(\mathbf {v} \times \mathbf {p} )=0$

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что $|\mathbf {L} |$ — константа.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

$\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$, где $T_1$ и $T_2$ — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а $a_1$ и $a_2$ — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: ${\frac {T_{1}^{2}(M+m_{1})}{T_{2}^{2}(M+m_{2})}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}$, где $M$ — масса Солнца, а $m_1$ и $m_2$ — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Доказательство третьего закона Кеплера   

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\epsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt$

$(1-\epsilon )\cdot V_{A}=(1+\epsilon )\cdot V_{B}$

$V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}$

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем

${\frac {mV_{A}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1-\epsilon )a}}={\frac {mV_{B}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1+\epsilon )a}}$

${\frac {V_{A}^{2}}{2}}-{\frac {V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{(1-\epsilon )a}}-{\frac {GM}{(1+\epsilon )a}}$

${\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{(1-\epsilon )}}-{\frac {1}{(1+\epsilon )}}\right)$

${\frac {\left(V_{B}\cdot {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1+\epsilon -1+\epsilon }{(1-\epsilon )(1+\epsilon )}}\right)$

$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac {2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\epsilon }{(1-\epsilon )(1+\epsilon )}}\right)$

$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\epsilon )^{2}-(1-\epsilon )^{2}}{(1-\epsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\epsilon }{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}$

$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\epsilon +\epsilon ^{2}-1+2\epsilon -\epsilon ^{2}}{(1-\epsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\epsilon }{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}$

$V_{B}^{2}\cdot 4\epsilon ={\frac {4GM\epsilon \cdot (1-\epsilon )^{2}}{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}$

$V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\epsilon )}{a\cdot (1+\epsilon )}}}.$

Теперь, когда мы нашли $V_B$, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

${\frac {dA}{dt}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt}{dt}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}$

$={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\epsilon )}{a\cdot (1+\epsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}$

Однако полная площадь эллипса равна $\pi a{\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a$ (что равно $\pi ab$, поскольку $b={\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a$). Время полного оборота, таким образом, равно

$T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a$

$T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}=\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}$

$T={\frac {2\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}{\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}={\frac {2\pi a^{2}}{\sqrt {GMa}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a^{3}}}$

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}.$

Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы $M+m$ (см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на $M+m$:

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}.$

Шаблон:История астрономии

• Небесная механика
• Задача Бертрана