Интерпретации вероятности

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Интерпретации вероятности — различные философские интерпретации понятия вероятность.

Слово вероятность использовалось разнообразными способами с тех пор, как оно впервые было придумано в связи с азартными играми. Измеряет ли вероятность реальную, физическую тенденцию чего-либо произойти, или это — мера того, как каждый полагает, что это «что-либо» произойдёт, или нечто ещё? В ответах на такие вопросы интерпретируются значения вероятности в философии, естественных, гуманитарных и социо-экономических науках, а также в статистике и теории вероятностей.

Есть две широкие категории интерпретаций вероятности, которые можно назвать физическими и свидетельскими (англ. evidental) вероятностями.

• Физическая вероятность, которую также называют объективной или частотной вероятностью, связана с событиями в физических системах, типа колеса рулетки, игры в кости или системы атомов. В таких системах, данный тип события (например, «выпадение шестёрки на игральной кости») имеет тенденцию случаться с постоянной относительной частотой в длинном ряду испытаний. Физические вероятности или объясняют, или призваны, чтобы объяснить, эти устойчивые частоты. Таким образом разговор о физической вероятности имеет смысл только, если имеют дело с хорошо определенным случайным экспериментом. Два главных типа теорий физической вероятности —
  • расчёт частот (Джон Венн, Ганс Рейхенбах и Рихард фон Мизес) и
  • расчёт предрасположенностей (Карл Поппер, Дэвид Миллер, Рональд Гир и Джеймс Фецер).
• Свидетельская вероятность, байесовская вероятность, или субъективная вероятность может быть приписана любому событию вообще (даже когда кажется, что не вовлечен никакой вероятностный процесс), как способ представить субъективное правдоподобие, или степень, с которой наступление события принимается субъектом или поддержано доступным свидетельством. В большинстве расчётов, свидетельские вероятности, как полагают, являются степенями веры, определенными в терминах предрасположенностей, чтобы играть на деньги с определенными шансами на успех. Четыре главных свидетельских интерпретации —
  • классическая интерпретация (Лаплас),
  • субъективная интерпретация (Бруно де Финетти и Леонард Сэвидж),
  • познавательная (англ. epistemic) или индуктивная интерпретация (Фрэнк Рамсей и Ричард Кокс) и
  • логическая интерпретация (Джон Кейнс и Рудольф Карнап).

Некоторые другие интерпретации вероятности связаны с различием подходов к статистическому выводу, включая теории: оценивания и проверки гипотез.

• Физическая интерпретация, например, принимается последователями частотных статистических методов: Рональд Фишер, Юрий Нейман и Игон Пирсон.
• Статистики противоположной байесовской школы как правило признают существование и важность физических вероятностей, но полагают также, что вычисление свидетельских вероятностей всегда будет необходимо в статистике.

Данная статья, однако, сосредоточена на интерпретациях вероятности, а не на теориях статистического вывода.

Терминология, используемая в интерпретациях вероятности, довольно запутанна, отчасти потому, что вероятности изучаются в пределах очень многих различных академических областей. Слово частота является особенно хитрым. Для философов частота относится к специфической теории физической вероятности, той, которая была более или менее заброшена. Для ученых с противоположной стороны частотной вероятностью является только то, что философы называют физической (объективной) вероятностью, как и частотная статистика, которая является подходом к статистическому выводу, признающему только физические вероятности. Также и слово объективная в применении к вероятности, иногда означает точно то, что и физическая, но её также используют в свидетельских вероятностях, которые определяются рациональными ограничениями, типа логических и познавательных (epistemic) вероятностей.

Эти интерпретации вероятности представлены более подробно ниже.

Классическая вероятность

Классическое определение вероятности хорошо работает в ситуациях с конечным числом равновероятных исходов.

Чемпионский удар математической строгости по вероятности, нанесённый Пьером-Симоном Лапласом, был известен как классическое определение. Возникшее из изучения азартных игр (таких как бросание кости) оно заявляет, что вероятность распределена одинаково между всеми возможными исходами.

Теория шанса состоит в сокращении всех событий одного и того же вида к определенному числу одинаково возможных событий (то есть скажем, к таким, к которым мы можем быть одинаково нерешительными в отношении их наступления) и в определении числа событий, благоприятных событию, вероятность которого разыскивается. Отношение данного числа к числу всех возможных событий — мера этой вероятности, которая является таким образом просто дробью, числитель которой – число благоприятных событий, а знаменатель — число всех возможных событий. — Пьер-Симон Лаплас. Философский очерк о вероятности. The theory of chance consists in reducing all the events of the same kind to a certain number of cases equally possible, that is to say, to such as we may be equally undecided about in regard to their existence, and in determining the number of cases favorable to the event whose probability is sought. The ratio of this number to that of all the cases possible is the measure of this probability, which is thus simply a fraction whose numerator is the number of favorable cases and whose denominator is the number of all the cases possible. — Pierre-Simon Laplace. A Philosophical Essay on Probabilities.

Частотная вероятность

Для частотников вероятность того, что шарик попадёт в определённую ячейку рулетки, может быть определена только повторением испытаний, в которых наблюдаемые результаты стремятся к интересующей вероятности при долгом повторении.

Частотники говорят, что вероятность события — это его относительная частота в течение длительного времени, то есть, относительная частота наступления события после длительного повторения при одних и тех же условиях. Это определение также известно как алеаторная вероятность.

События, как предполагают частотники, управляются некоторыми случайными физическими явлениями, которые представляют собой

• либо явления, предсказуемые, в принципе, при достаточной информации (бросание кости или вращение колеса рулетки);
• либо явления, которые являются чрезвычайно непредсказуемыми (радиоактивный распад атомов).

При бросании справедливой монеты, частотники говорят, что вероятность выпадения «орлов» равна 1/2 не потому, что есть два одинаково вероятных результата, но потому что повторные ряды большого количества испытаний демонстрируют, что эмпирическая частота сходится к пределу 1/2, когда число испытаний стремится к бесконечности.

Логическая, познавательная и индуктивная вероятность

Широко признано, что термин вероятность иногда используется в контекстах, где он не имеет никакого отношения к физической случайности. Рассмотрите, например, заявление, что исчезновение динозавров было вероятно вызвано большим метеоритом, поразившим Землю. Заявления типа «Гипотеза H вероятно верна» интерпретировались, чтобы означать, что (теперь доступное) эмпирическое свидетельство (скажем «E») поддерживает «H» к высокой степенью. Эта степень поддержки «H» свидетельством «E» назвали логической, познавательной (англ. epistemic) , или индуктивной вероятностью «H» при данном «E».

Различия между этими интерпретациями являются довольно небольшими, и могут казаться несущественными. Однако, как бы то ни было, эти различия действительно существуют. Один из главных пунктов разногласия находится в отношении между вероятностью и верой. Логические вероятности задуманы, чтобы быть объективными, логическими отношениями между суждениями (или предложениями), и следовательно никогда не зависят от веры. Они — степени (частичного) ограничения (англ. entailment), или степени логического следствия, но — не степени веры. (Однако, они действительно, порождают надлежащие степени веры, как обсуждается ниже.) Фрэнк Рамсей, с другой стороны, был скептиком в существовании таких объективных логических отношений и утверждал, что (свидетельская) вероятность — это логика частичной веры. Другими словами, Рамсей считал, что познавательные вероятности — просто степени рациональной веры, вместо того, чтобы быть логическими отношениями, которые всего лишь ограничивают степени рациональной веры.

Другой пункт разногласия касается уникальности свидетельской вероятности, относительно данного состояния знания. Рудольф Карнап, например, придерживался мнения, что логические принципы всегда определяют уникальную логическую вероятность для любого утверждения заявления, относительно любого набора данных. Рамсей, в отличие от этого, думал, что, в то время как степени веры подчинены некоторым рациональным ограничениям (такие как аксиомы вероятности, но не ограниченные только ими), эти ограничения обычно не определяют единственное значение. Рациональные люди, другими словами, могут отличаться несколько по их степеням веры, даже если они все располагают той же самой информацией.

Вероятность как предрасположенность

Теоретики предрасположенности думают о вероятности как о физической предрасположенности, склонности, расположенности, или тенденции данной физической ситуации приводить к исходу данного вида или приводить к длинному ряду относительных частот такого исхода. Этот вид объективной вероятности иногда называют также возможностью (шансом).

Предрасположенности, или возможности — это не относительные частоты, но подразумеваемые причины наблюдаемых устойчивых относительных частот. Предрасположенности призваны, чтобы объяснить, почему повторение эксперимента данного вида порождает данный исход с постоянным уровнем ставки. Центральный аспект этого объяснения – закон больших чисел. Этот закон, который является следствием аксиом вероятности, говорит, что, если (например) монета брошена неоднократно много раз таким способом, что её вероятность выпадения «орлов» является той же самой при каждом броске, а исходы вероятностно независимы, то относительная частота «орлов» будет (с высокой вероятностью) близка к вероятности «орлов» при каждом отдельном броске. Этот закон устанавливает, что устойчивость отдалённых частот — это проявление инвариантности вероятностей «единственного случая». Частотники неспособны принять этот подход, так как относительные частоты не существуют для отдельных бросков монеты, но лишь для больших ансамблей. Потому-то вероятности отдельных случаев известны как предрасположенности, или возможности.

В дополнение к объяснению появления устойчивых относительных частот, идея предрасположенности мотивирована также желанием придать смысл приписыванию вероятности отдельному случаю в квантовой механике, типа вероятности распада конкретного атома в конкретное время.

Главный вызов, стоящий перед теориями предрасположенности, требует сказать точно, что означает предрасположенность. И затем, конечно, показать, что предрасположенность, таким образом определенная, имеет необходимые свойства. В настоящее время, к сожалению, ни один из хорошо-признаваемых расчётов предрасположенности не приближается к ответу на этот вызов.

Первая теория предрасположенности, обязанная философу Карлу Попперу, отметила, что исход физического эксперимента производится определённым набором "порождающих условий". Когда мы повторяем эксперимент, говорится дальше, мы в действительности выполняем другой эксперимент с более или менее похожим набором порождающих условий. Сказать, что ряд порождающих условий имеет предрасположенность p создания исхода E означает, что те же точно условия, если их повторять неопределенно долго, произвели бы последовательность исходов, в которой E произошло бы с предельной относительной частотой p. Для Поппера тогда, детерминированный эксперимент имел бы предрасположенность 0 или 1 для каждого исхода, поскольку порождающие условия будут производить тот же самый исход в каждом испытании. Другими словами, нетривиальные предрасположенности (те, которые отличаются от 0 и 1) существуют лишь для «генетически» неопределённых (indeterministic) экспериментов. Ряд других философов, включая Дэвида Миллера (David Miller) и Дональда Джиллиса (Donald Gillies), предложили теории предрасположенности, в чем-то подобные теории Поппера.

Другие теоретики предрасположенности (например Рональд Гир) вообще явно не определяют предрасположенность, а смотрят на неё скорее «через призму» той теоретической роли, которую она играет в конкретной науке. Они утверждают, например, что физические величины, типа электрического заряда также не могут быть явно определены в терминах более элементарных вещей, но лишь в терминах того, какую роль они играют в физике, т.е что они делают (типа притяжения или отталкивания других электрических зарядов). Подобным же образом и предрасположенность выступает в различных ролях, которые играет в конкретных науках физическая вероятность.

Какую роль физическая вероятность играет в науке? Каковы её свойства? Одна центральная особенность возможности (шанса) состоит в том, что она «заставляет» рациональную веру принимать одни и те же числовые значения. Дэвид Льюис назвал это «Основным принципом», термин, который философы по большей части приняли. Например, предположим, Вы уверены, что имеющая специфические отклонения от симметрии монета обладает предрасположенность 0.32, чтобы выпадать «орлом» каждый раз, когда брошена. Что тогда служит правильной ценой за азартную игру, в которая платят 1 $, если монета выпадает «орлом», и ничего — иначе? Согласно «Основному принципу», справедливая цена — 32 цента.

Свидетельская вероятность

Азартная игра на деньги отражает среднюю степень веры в успех множества держателей пари.

Субъективисты, известные как байесианцы (англ. Bayesians), а также как последователи познавательной (англ. epistemic) или свидетельской (англ. evidental) вероятности, придают понятию вероятности субъективный статус, рассматривая её как меру степени веры человека, оценивающего неопределённость конкретной ситуации. Субъективную вероятность иногда называют доверием (англ. credence) (в противоположность терминам случай, шанс для вероятности как предрасположенности).

Некоторые примеры познавательной вероятности должны назначить вероятность суждению, что предложенный закон физики является верным, или определить, насколько вероятно, что подозреваемый совершил преступление, основанное на представленном свидетельстве.

Азартная игра на деньги не отражают веру букмекеров в вероятного победителя, так же, как и веру других заключающих пари, поскольку заключающие пари фактически держат пари друг против друга. Пари заключаются на основании того, сколько людей поставило на возможного победителя, так что, даже если бы игрок с высокой ставкой всегда побеждал, букмекер всегда давал бы ему лишь тот или иной процент.

Использование байесовской вероятности порождает философские дебаты относительно того, может ли это внести реальный вклад в теорию оправдания веры.

Байесианцы обычно указывают на работу Рамсея и де Финетти как на доказательство того, что субъективные верования должны следовать законам вероятности, если требовать их согласованности (англ. coherentness).

Использование байесовской вероятности опирается на определение предшествующей вероятности, которая может быть получена из соображений о том, является ли она больше или меньше некоторой «референсной (базовой) вероятности», связанной, например, с урновой моделью или мысленным экспериментом. Проблема, которая заключается в том, что для решения данной задачи, может использоваться множество мысленных экспериментов, и выбор одного из них — вопрос суждения, так как различные люди могут назначить различные предшествующие вероятности, известна как проблема референсного (базового) класса (например, «Проблема восхода солнца»).

Практическая полемика

Различия в точках зрения на интерпретацию вероятности много значат и для методов, которыми оперирует статистика, и для способов, которыми выражены статистические выводы. При сравнении двух гипотез и использовании некоторой информации частотные методы обычно приводят к отклонению или неотклонению первоначальной гипотезы на практически значимом уровне, и все частотники согласятся, что гипотеза должна быть отклонена или нет на данном уровне значимости. Байесовские методы предлагают, что одна гипотеза более вероятна чем другая, и индивидуальные байесианцы могут даже различить, какая из них более вероятна и насколько, опираясь на использование различной предшествующей информации. Байесианцы утверждают, что

вопрос не имеет однозначного ответа на существующей стадии знания, если он таков, что рассудительные люди могут выдвинуть другую правдоподобную причину и данные таковы, что не отвергают правдоподобие этой другой причины.

С байесианской точки зрения подобный подход по сути правилен и байесианцы выдвигают это утверждение на первый план. Более того, байесианцы утверждают, что любой другой подход, подразумевающий в данных обстоятельствах единственный, категорический ответ заслоняет истину.

Альтернативное решение, является эклектичной точкой зрения, которая принимает обе интерпретации: в зависимости от ситуации, каждый выбирает одну из этих двух интерпретаций исходя либо из прагматических, либо из строго принципиальных соображений.

Аксиоматическая вероятность

Математическая теория вероятности может быть вполне развита из аксиом, которые независимы от любой интерпретации (см. теория вероятности, аксиомы вероятности и Андрей Колмогоров для подробного изучения)

Алгоритмическая вероятность

• Алгоритмическая вероятность на Scholarpedia

См.также

• Субъективная вероятность (обзор)
• Байесовская вероятность
• Вероятность
• Интерпретации события