Кантора функция

Один из этапов построения графика функции Кантора

Кантора функция, канторова лестница, лестница дьявола — пример непрерывной монотонной функции $[0,1]\to [0,1]$, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.

Построение

Рассмотрим функцию, равную 1/2 на $[1/3,2/3]$, 1/4 на $[1/9,2/9]$, 3/4 на $[7/9,8/9]$ и так далее. На остальных точках единичного отрезка определим по непрерывности. Полученная функция называется функцией Кантора.

Свойства

• Производная функции Кантора определена и равна нулю во всех точках кроме канторова множества.
• Функция Кантора непрерывна, ограниченной вариации, но не абсолютно непрерывна.

См.также

• Канторово множество
• Георг Кантор