Ка́нторово мно́жество есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Г. Кантором.
Определения[]
Классическое построение[]
Из единичного отрезка удалим среднюю треть, т. е. интервал Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем . Обозначим через пересечение всех . Множество называется Канторовым множеством.
![]() |
Множества |
С помощью троичной записи[]
Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит Канторовому множеству, если у него есть одно такое представление, например так как .
Как аттрактор[]
Рассмотрим все последовательности точек такие, что для любого n,
- или .
Тогда множество пределов всех таких последовательностей является Канторовым множеством.
Свойства[]
- Канторово множество замкнуто.
- Канторово множество континуально.
- Канторово множество не счётно
- Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
- Канторово множество имеет дробную Хаусдорфову размерность равную .
- Канторово множество имеет нулевую меру Лебега.