Наука
Advertisement

Ковариацио́нная ма́трица (или ма́трица ковариа́ций) в теории вероятностей — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов двух случайных векторов.

Определения

  • Пусть , — два случайных вектора размерности и соответственно. Пусть также случайные величины имеют конечный второй момент, то есть . Тогда матрицей ковариации векторов называется

то есть

,

где

.
  • Если , то называется матрицей ковариации вектора и обозначается . Такая матрица ковариации является обобщением дисперсии для многомерной случайной величины, а ее след — скалярным выражением дисперсии многомерной случайной величины. Собственные векторы и собственные числа этой матрицы позволяют оценить размеры и форму облака распределения такой случайной величины, аппроксимировав его эллипсоидом (или эллипсом в двумерном случае).

Замечания

  • У этого термина есть также другие значения.Например, матрицей ковариации называется матрица, составленная из

попарных ковариаций различных элементов одного случайного вектора. См. статью Многомерное нормальное распределение.

Свойства матриц ковариации

  • Сокращённая формула для вычисления матрицы ковариации:
.
  • Матрица ковариации случайного вектора неотрицательно определена:
.
  • Смена масштаба:
.
  • Если случайные векторы и нескоррелированы (), то
.
  • Матрица ковариации аффинного преобразования:
,

где — произвольная матрица размера , а .

  • Перестановка аргументов:
  • Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:
,
.
  • Если и независимы, то
.

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Ковариационная матрица. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Так же, как и в этом проекте, тексты, размещённые в Википедии, доступны на условиях GNU FDL.


Advertisement