Конус

Прямой круговой конус.

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом.

Усечённый прямой круговой конус.

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус называется пирамидой.

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

$V={1 \over 3}SH,$

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

$2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),$

где $\alpha$ — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

$S=\pi Rl,$

• Площадь поверхности такого конуса равна

$S=\pi R(l+R),$

где $R$ — радиус основания, $l$ — длина образующей.

• Объём кругового конуса равен

$V={1 \over 3}\pi R^{2}H.$

• Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

$V={1 \over 3}(HS_{2}-hS_{1}),$

где S₁ и S₂ — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Уравнение конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

• В сферической системе координат с координатами (r, φ, θ):

$\theta =\Theta .$

• В цилиндрической системе координат с координатами (r, φ, z):

$z=r\cdot \operatorname {tg} \Theta$ или $r=z\cdot \cot \Theta .$

• В декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

$z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {tg} \Theta .$ Это уравнение в каноническом виде записывается как

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,$

где константы a, с определяются пропорцией $c/a=\sin \Theta /\cos \Theta .$ Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,$

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением $f(x, y, z) = 0,$ где функция $f(x,y,z)$ является однородной, то есть удовлетворяющей условию $f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)$ для любого действительного числа α.

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности.Угол сектора $\varphi$ в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

С имеющимися и полученными значениями можно нарисовать развёртку конуса на бумаге или другом материале, чтобы из развёртки получить конус как наглядное пособие или промышленное изделие.

Вариации и обобщения

• В алгебраической геометрии конус — это произвольное подподмножество $K$ векторного пространства $V$ над полем $F$, для которого для любого $\lambda \in F$

  $\lambda K=K.$

• В топологии, конус над топологическим пространством $X$ есть фактор-пространство $X\times [0,\infty )$ по отношению эквивалентности ($x,0)\sim (y,0).$

См. также

• Коническая поверхность
• Коническое сечение
• Конус (топология)
• Световой конус
• Конус отображения
• Биконус

Литература

• Статья «Конус» в Математической энциклопедии.
• Объем усеченного конуса эллиптические (на английском языке).
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.

[[Категория:Алгебраическая геометрия]]