Коэффициент корреляции

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Коэффицие́нт корреля́ции в теории вероятностей и математической статистике — нормированная мера линейной зависимости случайных величин; введен Фрэнсисом Гальтоном (1888).

Определение

Пусть $X, Y$ — две случайные величины, определённые на одном вероятностном пространстве. Тогда их коэффициент корреляции задаётся формулой:

$\varrho _{X,Y}={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\sqrt {\mathrm {D} X\cdot \mathrm {D} Y}}}$,

где $\mathrm {cov} (X,Y)$ — ковариация случайных величин $X, Y$, а $\mathrm {D} X,\mathrm {D} Y$ — их дисперсии, или, что то же самое, формулой:

$\varrho _{X,Y}={\frac {\mathbb {E} (XY)-\mathbb {E} X\cdot \mathbb {E} Y}{\sqrt {(\mathbb {E} X^{2}-(\mathbb {E} X)^{2})\cdot (\mathbb {E} Y^{2}-(\mathbb {E} Y)^{2})}}}$,

где $\mathbb {E} (XY),\mathbb {E} X$ и $\mathbb {E} Y$ — средние значения (математические ожидания) случайных величин $XY,X$ и $Y$ соответственно.

Свойства

• Неравенство Коши — Буняковского:

$-1 \le \varrho_{X,Y} \le 1$.

• Коэффициент корреляции равен $\pm 1$ тогда и только тогда, когда $X$ и $Y$ линейно зависимы:

$\varrho_{X,Y} = \pm 1 \Leftrightarrow Y = kX+b$,

где $k,b\in \mathbb{R}$. Более того в этом случае знаки $\varrho_{X,Y}$ и $k$ совпадают:

$\mathrm {sign} \ \varrho _{X,Y}=\mathrm {sign} \ k.$

• Если $X, Y$ линейно независимые случайные величины, то $\varrho_{X,Y} = 0$. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Корреляция
• Регрессия (в математической статистике)